新型空間碎片清除平臺發射諸元確定及仿真

張治彬，李新洪，安繼萍，賀廣松，王 謙

（航天工程大學，北京 101416）

0 引言

在科學技術得到了極大的發展之后，人們對這一過程中產生的環境問題的關注度也越來越高。空間碎片分布廣泛，數量巨大，對在軌運行航天器造成了致命的威脅。空間碎片危害最大的區域包括由于碎片大量分布的LEO 區域和軌道資源緊缺的GEO 區域［1］。空間碎片主動清除方式主要包括推移離軌、增阻離軌、捕獲離軌等。文獻［2］對強激光推進空間碎片的燒蝕過程進行了理論推導；文獻［3-4］提出了比激光推移更有效的離子束推移離軌；文獻［5］驗證了膨脹泡沫增阻離軌具有多米諾效應；文獻［6］提出了利用靜電力降低空間碎片軌道從而實施清除的概念；文獻［7］提出一種拋灑人工粉塵使空間碎片軌道降低，加速墜毀的方法；捕獲離軌清除是指清除平臺與空間碎片物理接觸的方式來清除碎片［8］，捕獲方式包括機械臂、電動力繩系、容器收集器等。增阻離軌方式適用于LEO 區域小碎片，不適用于攝動力十分微弱的GEO 區域碎片，捕獲離軌由于平臺機動能力的限制，無法多次進行清除任務，適用于較大碎片，例如失效衛星等。作者在文獻［9］中提出一種基于輕氣炮載荷的GEO軌道空間碎片清除平臺，通過輕氣炮載荷定向發射具有額定初速的粘性彈丸與目標碎片發生碰撞，從而將碎片推離原有軌道，達到清除目的。本文利用火控理論對該空間碎片清除平臺工作模式進行了建模，利用相對運動方程確定彈丸發射諸元，并通過Matlab 與STK 互聯進行了仿真驗證。

1 解固定速度增量攔截發射諸元問題

在t0時刻，空間碎片清除平臺（簡稱平臺，用P表示）在地球慣性坐標系下位置為RP0，速度為VP0，該平臺可發射固定速度大小為dv、方向任意的彈丸（用C 表示），目標航天器（簡稱目標，用T 表示）位置為RT0，速度為VT0。如圖1 所示，在t1時刻，平臺調整至期望姿態qd發射出速度為Dv=［Dvx，Dvy，Dvz］T的彈丸，彈丸沿轉移軌道運行，在tf（預定攔截時刻）時刻與目標發生碰撞。已知t0時刻平臺速度RP0、速度VP0和目標位置RT0、速度VT0以及彈丸速度dv，確定合適的t1以及求解相對應的期望姿態qd和tf，稱為解固定速度增量攔截發射諸元問題。把輕氣炮載荷通過壓縮氣體推動彈丸速度增加至dv 稱為對彈丸施加單次脈沖，由于對彈丸施加單次脈沖后彈丸可達到的速度大小dv 有限，彈丸可到達范圍有限，因此，在施加單次脈沖后彈丸不可到達的區域，需要通過對平臺進行合理的機動，使目標進入彈丸的覆蓋范圍。本文只考慮目標處于彈丸可到達區域內的情況，不需要對平臺進行機動，并且在t1=t0=0即發射彈丸。

本文作出以下假設：

1）目標位于彈丸可達范圍，平臺不需要機動；

2）對彈丸施加單次脈沖，彈丸加速至額定速度的時間可忽略；

3）假設地球為均質球體，不考慮任何攝動；

4）空間碎片清除平臺為三軸姿態穩定，且姿態處于理想狀態。

2 坐標系統

1）地心慣性坐標系（J2000）：原點位于地心，X軸在赤道平面內指向春分點，Z 軸垂直赤道平面，與地球自轉軸重合，指向北極，Y 軸滿足右手定則；

圖1 碎片清除示意圖

2）航天器軌道坐標系（VVLH）：原點位于平臺質心，x 軸指向軌道周向，即平臺運動方向，z 軸與航天器向徑重合，指向地心，y 軸滿足右手定則，即軌道面負法線方向。

慣性系到軌道坐標系的轉換矩陣為：

式中，Ω 為平臺軌道升交點赤經；i 為軌道傾角；u 為緯度幅角。

3）航天器本體坐標系：原點Ob位于平臺質心，Xb、Yb、Zb分別于平臺的慣量主軸，理想狀態下，平臺本體坐標系與軌道坐標系重合。

3 相對運動方程

3.1 Hill 微分方程

相對運動方程形式如下：

式中

3.2 線性Hill 方程分析解（C-W 方程）

如果平臺軌道為圓軌道或者近圓軌道，且目標與平臺相對距離遠小于軌道高度，則可以忽略非線性項εx，εy，εz，保留線性項得到Hill 方程一階分析解（C-W 解）。以t1時刻作為初始時刻，t 時刻的狀態參數（x y z）可表示為初始狀態（x1y1z1）與時間t 的顯函數［11］：

4 發射諸元快速解法

固定速度增量攔截問題中只關心目標相對于平臺的位置，以及彈丸相對于平臺的位置關系，不考慮相對速度。將式（9）～式（11）改寫成函數形式，則在VVLH 坐標系下，tf時刻目標相對于平臺位置矢量有：

其中，RT1，VT1分別為慣性系下目標在t1時刻的位置和速度，RP1，VP1分別為慣性系下平臺在t1時刻的位置和速度，tf為預定攔截時刻。

t1時刻彈丸的速度Dv=［Dvx，Dvy，Dvz］T，位置為RP1，因此，tf時刻彈丸相對平臺的位置矢量表示為：

彈丸在tf時刻命中目標，則二者相對于平臺的位置矢量相同：

由于彈丸相對平臺的速度大小dv 固定，則有：

聯立式（17）和式（18）得到四維非線性方程組式（19），4 個自變量分別為Dvx，Dvy，Dvz，tf，因此，方程組存在唯一解或者不存在解（目標位于彈丸單次脈沖可到達區域之外）。

非線性方程組可以使用不動點迭代法、牛頓迭代法等迭代解法，Matlab 中fsolve 函數可以直接對非線性方程組求解，但是fsolve 函數對于初值十分敏感，很容易導致產生局部最優解，并且無法對解的范圍進行約束，并且本文需要對預定攔截時刻tf作出限制：tf＞t1＞0。利用最優化解法，將方程組改寫為求最小值的目標函數，首先利用粒子群算法得到一個接近于解的搜索初值，然后將目標函數限定為fmincon 的非線性約束，最后利用Matlab 中的GlobaSearch 尋找目標解。

將非線性方程組（19）改寫成如下形式，式中第5 項增加了對tf＞0 的約束：

輕氣炮安裝方向沿空間碎片清除平臺本體坐標系Xb軸，平臺由本體坐標系繞歐拉軸ObE 轉動一次到期望姿態，轉動歐拉角φ［12］。歐拉軸ObE 在體坐標系表示為：

其中，xb=［1，0，0］T為ObXb軸的單位矢量在體坐標系下的坐標。則旋轉四元數qr為：

5 算例及仿真

本節利用Matlab 與STK 互聯進行仿真驗證，給出多組仿真結果并對結果進行分析。本文所用數據均采用國際單位制。慣性系下彈丸軌跡RC（t）到目標軌跡RT（t）間的最短距離矢量作為脫靶量（E）來衡量諸元解算精度［13］，則脫靶量E 的范數為：

在t1=0 時刻，航天器平臺位置矢量和速度矢量分別為：

目標位置矢量和速度矢量為：

由式（21）～式（23）確定旋轉四元數為：

帶入到式（24）可得期望姿態四元數為：

通過STK 仿真得到彈丸和目標的軌跡并帶入到式（25）得到脫靶量

圖2 給出慣性系下目標和彈丸相對于平臺的位置矢量仿真圖，平臺、彈丸和目標的軌跡如圖3所示。

圖2 相對運動仿真圖

圖3 平臺、彈丸、目標軌跡仿真圖

表1 列出多組仿真結果。可以看出，在平臺與目標初始時刻距離|RT1-RP1| 為305 030 m 的情況下，該發射諸元解算算法脫靶量在米的量級，并且隨著彈丸發射速度的增加，彈丸飛行時間減小，脫靶量隨之減小；脫靶量的產生與C-W 方程線性化條件有關：隨著目標與平臺距離的增加和平臺偏心率的增加，C-W 方程適用于逐漸變差，脫靶量隨之增加；除此之外，脫靶量的產生與Matlab 與STK計算精度有關，但是相對于軌道高度而言，軟件產生的誤差可以忽略不計。

6 結論

本文對基于輕氣炮載荷的GEO 軌道空間碎片清除平臺發射諸元確定問題進行了研究。在忽略攝動力影響的情況下，利用非線性相對運動方程分析解建立命中方程組，通過最優化方法對方程組求解得到高精度的全局最優數值解。通過STK 進行了仿真驗證，仿真結果表明，在初始時刻平臺與目標相距300 km 的情況下，脫靶量僅為米的量級，在可接受的范圍內，并且彈丸飛行時間為百秒量級，在高軌運行時攝動力可以忽略，因此，新型空間碎片清除平臺發射的彈丸可以對目標碎片進行有效的撞擊。

由于C-W 解對方程進行了線性化，并且對平臺軌道偏心率提出了要求，限制了此解法的使用范圍，下一步將利用非線性Hill 方程分析解對問題進行研究。此外，后續將利用仿真實驗對彈丸空間散布及命中概率進行分析。

表1 仿真實驗結果