管道水力摩阻系數的敏感性分析

郭永鑫，郭新蕾，楊鵬志，付 輝，王 濤

（1.中國水利水電科學研究院 流域水循環模擬與調控國家重點試驗室，北京 100038；2.河北水利電力學院，河北 滄州 061001）

1 研究背景

管道輸水具有效率高、環境影響小、拆遷占地少、運行調度安全可靠、維護管理簡單等特點，廣泛應用于城市給排水、農業灌溉、跨流（區）域調水等水利工程中。管道水力計算公式及其摩阻系數的合理選用是流體輸送工程設計的關鍵，其選取合理與否直接影響水力計算成果的精度，進而影響工程的總體布局、設計規模、投資乃至運行費用。現有規范和工程設計常用的水力計算公式及相應的摩阻系數有［1-2］：達西-魏斯巴哈（Darcy-Weisbach）公式和達西摩阻系數λ，海森-威廉（Hazen-Williams）公式和海森-威廉系數Ch，謝才-曼寧（Chézy-Manning）公式和曼寧糙率系數n。

大量研究和工程實踐表明水力摩阻系數不僅與管道內壁的粗糙度有關，而且受管徑D、流速V、水流黏滯系數ν等的影響［3-4］。然而，國內現有規范給出的摩阻系數取值范圍較寬，對摩阻系數影響因素的考慮不全面，導致工程設計，尤其是大口徑輸水管道的摩阻系數精確取值困難，部分工程的水力計算誤差較大。例如，新疆北疆供水工程小洼槽倒虹吸，采用DN3100 玻璃鋼夾砂管，曼寧糙率系數設計值n=0.0090，工程運行后實測n=0.0106，比設計值大18%，導致上下游進出口水位差比設計值增加0.6 m，不能滿足設計輸水流量要求［5］；三個泉倒虹吸采用鋼管和PCCP 管的組合方案，其中DN2700 環氧內襯鋼管的曼寧糙率系數設計值n=0.0120，實測n=0.0098，比設計值小23%，DN2800PCCP 管道的曼寧糙率系數設計值n=0.0135，實測n=0.0108，比設計值小25%，實際過流能力大于設計值，原設計方案偏于保守［6］；南水北調中線北京段DN4000PCCP 管道，曼寧糙率系數設計值n=0.0120，實測n=0.0101，比設計值小15%，實際運行水頭損失（5.30 m）僅為設計值（7.64 m）的69%［7］。

因此，有必要通過建立不同水力摩阻系數間的換算關系，系統分析各摩阻系數對不同因素的敏感程度和變化規律，進而提出工程中水力計算公式選用和摩阻系數取值應注意的問題。

2 管道水力計算公式

2.1 達西-魏斯巴哈公式

式中：hf為管道沿程水頭損失，m；λ為達西摩阻系數；D 為管道內徑，m；L 為管段長度，m；V 為管道平均流速，m/s；g 為重力加速度，m/s2。達西-魏斯巴哈公式適用于不同流體（氣體或液體）的不同流態（包括層流和紊流），達西摩阻系數λ通常采用柯爾勃洛克-懷特（Colebrook - White）公式計算：

式中：k 為當量粗糙度，m；Re 為雷諾數?？聽柌蹇?懷特公式是計算紊流區達西摩阻系數λ的半理論半經驗公式，其適用范圍涵蓋了光滑管區、紊流過渡區和粗糙管區，大量的試驗結果表明該式與實際商用管道的阻力試驗結果吻合良好，被公認為是管道水力計算的標準方程［8］。

當水流處于紊流粗糙區時，雷諾數Re足夠大，式（2）可簡化為尼古拉茲（Nikurasde）粗糙管區公式：

2.2 海森-威廉公式

式中：Ch為海森-威廉系數；Q 為管道流量，m3/s。海森-威廉公式是在D＜1.8m 工業管道的大量測試數據基礎上建立的經驗公式，適用范圍為部分紊流過渡區，Ch的取值范圍介于100 ～157 之間［9-10］，該式在我國市政給排水管網設計中應用較廣。

2.3 謝才公式

式中：C 為謝才系數，m1/2/s；R 為水力半徑，m。謝才系數C 通常采用曼寧（Manning）公式計算：

式中：n 為曼寧糙率系數。曼寧經驗公式最初來源于明渠均勻流的水力計算，用于管道時僅適用于紊流粗糙區或非滿管重力流輸水。然而，由于一直以來的工程設計習慣，以及公式簡單的指數關系，我國水利工程中普遍使用該式進行水力計算，即使管內水流處于紊流過渡區流態［11］。

上述各摩阻系數之間可相互進行換算，其關系式為：

3 水力摩阻系數的敏感性分析

以達西-魏斯巴哈公式和柯爾勃洛克-懷特公式為水力計算標準，依據各摩阻系數間換算關系式（7）和式（8），分析管道內壁當量粗糙度k、管徑D、流速V、水溫（水流黏滯系數ν）等因素對摩阻系數取值的敏感性影響。

3.1 摩阻系數的相對變化率關系式上述各水力計算公式可寫為水力坡降J 與摩阻系數、管徑D 和流速V 的關系式，對水力坡降J 求全微分可得：

式中：J 為水力坡降，J= hf/L；由微分運算性質可知式（9）—式（11）表示水力坡降J 與各水力摩阻系數、流速V 和管徑D 之間的相對變化率關系。特別地，當流速V 和管徑D 一定時各摩阻系數的相對變化率近似滿足：

上式表明：流速V 和管徑D 一定時，管道內壁越粗糙，水力坡降J、達西摩阻系數λ和曼寧糙率系數n 越大，而海森-威廉系數Ch越小；曼寧糙率系數n 和海森-威廉系數Ch取值的1%相對誤差將引起水力坡降J 或沿程水頭損失約2%的相對誤差，計算誤差被成倍放大，這也進一步說明了摩阻系數合理取值對輸水工程精確水力計算的重要性。

3.2 當量粗糙度k圖1為DN1000mm，水溫15 ℃，流速范圍0.3 ～3.0 m/s（考慮工程運行的技術經濟性，輸水管道流速通常不超過3.0m/s［1］），當量粗糙度k 分別為0.00、0.10、0.20 和0.30 mm 時各摩阻系數隨流速的變化，表1為流速V=1.0 m/s 和V=3.0 m/s 的摩阻系數值及其相對變率。由圖表可知：流速V 和管徑D 一定時，管道的當量粗糙度k 增大，相對粗糙度（k/D）增大，水力坡降J、達西摩阻系數λ和曼寧糙率n 值增大，海森-威廉系數Ch減小，摩阻系數間的相對變化率關系近似遵循式（12）；各摩阻系數的相對變化率隨流速的增大而增大，隨當量粗糙度k 的增大而減小。

表1 當量粗糙度k 對摩阻系數的敏感性影響

3.3 管徑D圖2為當量粗糙度k=0.10 mm，流速范圍0.3 ～3.0 m/s，DN100 ～DN2600 不同管徑的摩阻系數計算結果。大量試驗研究和現場檢測結果表明，水泥砂漿內襯球墨鑄鐵管［12-13］和PCCP 管道［14-15］的當量粗糙度近似為k=0.10 mm。由圖可知，當量粗糙度k 一定時，在相同流速V 和水溫下，管徑D增加，相對粗糙度（k/D）減小，水力坡降J 和達西摩阻系數λ減小，而曼寧糙率系數n 和海森-威廉系數Ch均增加。

曼寧糙率n 隨管徑D 的變化規律與《SL 702-2015 預應力鋼筒混凝土管道技術規范》［16］中“同種管材，管徑D 越大，粗糙系數n 越小”的論述相矛盾。由微分關系式（11）可知，水力坡降J 隨著曼寧糙率n 和流速V 的增大而增大，但隨著管徑D 的增大而減小。由于管徑D 變化引起的曼寧糙率n 的相對變化率要遠小于D 的相對變化率（參見表2），因此，雖然曼寧糙率n 隨著管徑D 增大而略有增大，但是水力坡降J 總是隨著管徑D 的增大而減小。只有當管徑D 一定時，水力坡降J 才隨著曼寧糙率n 的增大而增大。顯然，規范［16］對曼寧糙率n 與管徑D 之間的變化規律考慮不足。

圖3為當量粗糙度k=0.10 mm，不同流速、不同管徑的曼寧糙率系數n 和海森-威廉系數Ch。由圖可知：流速V=1.0 m/s 時，管徑由DN100 變化到DN2600，曼寧糙率系數n 從0.0092 增大到0.0112，增幅為22%；海森-威廉系數Ch從134 增大到145，增幅為8%；管徑D 對曼寧糙率n 的敏感性影響大于對海森-威廉系數Ch的影響，尤其是當D＞1.0 m 時，n 的增幅為7%，而Ch的增幅僅為1%。工程設計階段，若不考慮管徑D 的影響，對所有管徑的曼寧糙率系數n 和海森-威廉系數Ch取固定值，則根據摩阻系數間的相對變化率關系式（12），沿程水頭損失計算誤差最大可分別達到44%（謝才-曼寧公式）和16%（海森-威廉公式）。

圖1 當量粗糙度k 對摩阻系數的敏感性影響

表2 管徑D 對水力坡降J 和曼寧糙率n 的敏感性影響

3.4 流速V如圖2所示，管內水流處于紊流過渡區時，管道流速V（或流量Q）增大，相同管徑D 和水溫下的雷諾數Re 增大，相對粗糙度（k/D）一定時，水力坡降J 增大，達西摩阻系數λ和曼寧糙率n 減小，海森-威廉系數Ch則先增大后減小。如圖3，流速從1.0 m/s 增大到2.0 m/s，曼寧糙率系數n 減小約2.71%，海森-威廉系數Ch減小約2.56%。當水流進入紊流粗糙區后，達西摩阻系數λ僅與管道的相對粗糙度（k/D）有關，此時達西摩阻系數λ和曼寧糙率n 為一常數。

3.5 水溫T（運動黏滯系數ν）表3為DN1000 mm，當量粗糙度k=0.10 mm，水溫分別為10 ℃（ν=1.310×10-6m2/s）、15℃（ν=1.145×10-6m2/s）、20℃（ν=1.009×10-6m2/s），流速V=1.0 m/s 和V=3.0 m/s 時各摩阻系數值及其相對變率。由表可知，管道相對粗糙度（k/D）一定時，相同流速V 和管徑D，溫度T 升高，運動黏滯系數ν減小，水流雷諾數Re 增大，水力坡降J、達西摩阻系數λ和曼寧糙率n 均減小，海森-威廉系數Ch增大，各摩阻系數的相對變化率關系近似滿足式（12），其相對變化幅值隨流速V 增大而減小。

圖2 管徑D 對摩阻系數的敏感性影響

圖3 管徑D 和流速V 對摩阻系數的敏感性影響

表3 水溫T 對摩阻系數的敏感性影響

3.6 摩阻系數的敏感性變化規律基于柯爾勃洛克-懷特公式和各摩阻系數間換算關系，得出管道摩阻系數隨當量粗糙度k、管徑D、流速V 和水溫T 的敏感性變化規律，如表4。對于同種管材（假定其當量粗糙度k 為一定值），管徑D 的取值變化范圍最大，其對摩阻系數的敏感性影響也最大，其次為流速V 的影響，水溫T 的影響最小。

表4 摩阻系數隨各敏感性因素的變化規律

4 實例分析與工程應用

4.1 實例分析表5為典型工程曼寧糙率系數n 和海森-威廉系數Ch的取值比較，表中實測值為工程現場測量值，設計值為工程設計取值，理論值為采用柯爾勃洛克-懷特公式求得達西摩阻系數λ后依據摩阻系數間關系式（7）和式（8）換算得到。由表可知：現有工程設計中曼寧糙率n 取值的隨意性較大，考慮管徑D 和流速V 影響的理論計算n 值與實測值接近，計算精度有較大地提高；海森-威廉系數Ch的經驗取值較為成熟，海森-威廉公式比謝才-曼寧公式更適宜于管道輸水工程的水力計算。

表5 典型工程案例分析［5-7］

4.2 水力計算公式的選用對于不同管材、不同管徑的水力計算應優先采用達西-魏斯巴哈公式和柯爾勃洛克-懷特公式，這也是國內外規范推薦的主要公式，其計算精度較高，適用于紊流的所有流態，并在科學研究和工程實踐中得到廣泛驗證。

海森-威廉公式適用于常溫下清水輸送管道的紊流過渡區，計算較為簡便快捷，計算精度可滿足工程要求。海森-威廉系數Ch的取值需考慮管徑D 的影響，美國水行業協會（AWWA）技術手冊《M9 混凝土壓力管》［17］給出Ch=139.3+6.65D，《M11 鋼管》［18］給出Ch=130.0+ 6.30D。圖3（b）表明管徑D 大于1.0 m 后，海森-威廉系數Ch隨管徑D 的變化趨于平緩，若采用上述規范給出的線性擬合公式，其誤差將隨著管徑D 的增大而增大。對于k=0.10 mm、V=1.0 m/s 的水泥砂漿內襯管道其經驗擬合關系式為Ch=147.25-4.13/D0.5。

隨著制管工藝和水平的發展，現有大型輸水工程的管道內壁均勻、光滑，水流多處于紊流過渡區，流態超出謝才-曼寧公式的適用范圍，并且現有規范規定的曼寧糙率n 取值范圍較寬，如規范［16］指出立式震搗法制造的PCCP 管的曼寧糙率系數n 取0.010 ～0.0125，變幅為25%，相應水頭損失的變幅將達到50%。由于未考慮管徑D 和流速V 的影響，造成實際工程中n 的精確取值困難，甚至較大的水頭損失計算誤差。

4.3 摩阻系數取值的裕度管道摩阻系數的取值不僅要考慮內壁絕對粗糙度的影響，而且需要考慮彎管、接頭、閥門等的局部水頭損失影響，以及長期運行后由于化學和生物作用產生的腐蝕、沉淀、結垢等對管壁粗糙度的影響［19］。實踐中需綜合考慮上述因素，結合工程經驗，對摩阻系數的選取預留適當的裕度，以保證輸水工程在長期運行過程能夠達到設計流量［20］。考慮裕度的摩阻系數取值可參考關系式（12），假設工程設計中管線的水頭損失預留10%的裕度，則達西摩阻系數λ需增大約10%，曼寧糙率n 需增大約5%，海森-威廉系數Ch需減小約5.4%。

5 結論

隨著經濟和社會發展，大口徑、新材料管道在水利工程中得到廣泛應用，本文對影響管道輸水能力的關鍵參數——水力摩阻系數進行了系統的敏感性分析，得出如下結論：

（1）管道水力計算應優先采用達西-魏斯巴哈公式和柯爾勃洛克-懷特公式，盡管后者為隱式方程，需迭代求解，但在當前計算機技術發展的條件下，這不應成為該公式在工程中普遍使用的障礙。

（2）海森-威廉公式和曼寧公式均為經驗公式，由于誤差傳遞，海森-威廉系數Ch和曼寧糙率系數n 的取值誤差將引起沿程水頭損失計算誤差的成倍放大，因此，二者的合理選取非常重要。海森-威廉系數Ch和曼寧糙率系數n 的經驗取值不僅要考慮管道內壁粗糙度的影響，流速V 和管徑D 的影響也不能忽略，對于同種管材，二者均隨管徑D 增大而增大，隨流速V 增大而減小。相比較而言，海森-威廉系數Ch對不同管徑D 的適應性優于曼寧糙率系數n，例如當管徑D＞1.0m 時，n 的變幅為7%，而Ch的變幅僅為1%。

（3）工程設計應慎用謝才-曼寧公式。現有規范給出的曼寧糙率系數n 取值通常不考慮管徑D 和流速V 的影響，且取值范圍較寬，n 的精確取值困難，甚至可能影響工程效率和效益的發揮。