高中數學教學中滲透數形結合思想的探究

常保峰

（河南省安陽市安陽縣第七中學，河南 安陽 455000）

在新課程改革下，數形結合思想已經成為高中數學的重要思想之一。在高中數學教學過程中，教師應該積極的滲透數形結合思想，讓學生既掌握解決數學題的方法，又能從數學思想的高度增強學生學習數學的能力和樂趣，提高學生學習數學的積極性和主動性。

一、數形結合思想的內涵

數形結合的思想是貫穿高中數學教學的重要思想之一，在解析大量的代數問題時可以利用數形結合思想將復雜抽象難以理解的代數問題用清晰明了的幾何圖形詮釋出來。數形結合的長期應用，不但可以培養學生的抽象性思維，還可以提高學生幾何、代數問題的變換能力，數形結合解題實質就是將直觀的幾何圖形與抽象的數學語言結合起來，也就是可以將代數問題和幾何問題相互轉化。

二、數形結合思想的應用方法

（一）數變形

數形結合的思維模式不是與時俱來的，而是經過學者不斷的探索和研究出來的。數和形，形和數的相互轉化是相互對應的，有的數看起來比較抽象難以確定，但是該數所對應的“形”卻能直觀的顯示出具體的思維，從而解決問題，因此可以把“數”所對應的“形”找出來，通過圖形解決問題。

（二）形變數

雖然圖形有著直觀、具體、清晰明了的特點，但是在定量計算的時候形不能代替數必須用代數的運算方式，并且還應該結合圖形的形狀和圖形走勢，找出關鍵的坐標點，充分利用圖形的幾何性質和意義。將“形”轉化為“數”后根據相應的理論公式、條件等細心計算。

（三）數和形的相互轉化

數形相互轉化是指在解決數學問題時，既要由數轉為形，還要由形轉為數，以數形結合的思想尋求正確的解題方法，要想提高學生的數形結合解題能力，需要老師在解題過程中認真詳細的給學生講解，并且引導學生學會運用數形結合方法，并掌握數形結合的思想。

三、高中數學教學中數形結合思想的應用

（一）應用“數形結合”思想解決函數問題

函數圖像是表示函數關系的一種形式，它是從“形”的方面來表示函數的變化規律。函數圖像直觀地顯示了函數的性質，為數量關系的研究提高了有效的參考，它是解答函數問題的重要手段和工具。

例1:求函數y=x2-2x-3,xE(-1,2)的值域。

解析：所求函數為二次函數，由于函數具有非單調的特性，所以并不能代端點值去求值域，最好的解決方法就是借助圖像來觀察，如右圖：

通過圖像可以直觀的看出，具有區間范圍的該二次函數的圖像應為黃色區域部分，此函數的最小值是在對稱軸處取得，即當x=1時，y=-4。從而該函數的值域為：(0,-4)。

此類問題是學生易錯類型之一，學生們習慣于直接將端點值帶入得出其值域，因此對于解決給定區間上的二次函數值域問題，最重要的就是培養學生數形結合的思想，掌握解題的技巧。

（二）應用“數形結合”思想解決方程問題

方程是數學中最常見的形式，在解方程的過程中，我們可以利用數形結合的思想將問題簡化，或可以通過此方法來檢驗答案的正確性。

例2：設方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍值時其不同解的個數的情況。

分析：我們把所求問題換個說法，也就是求函數y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點個數的情況，從圖像可以直觀看出:①當k<-1時，y1與y2沒有交點，這時原方程無解；②當k=-1時，y1與y2有兩個交點,原方程有兩個不同的解；③當-10時y1與y2有兩個交點，原方程不同解的個數有二個。

（三）應用“數形結合”思想解決集合問題

集合的重要表示法之一就是圖示法，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若用數軸、圖像或借助韋恩圖等數形結合的思想解題，往往可以使問題直觀化、簡單化，從而簡捷、直觀、靈活、準確地解答集合問題。

例3：某班共有30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，求喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數。

分析：先將文字語言轉化為集合語言，設U為全班學生組成的集合，A，B分別表示喜愛籃球運動、乒乓球運動的學生組成的集合，再利用Venn圖可直觀得出答案。

解答有關集合的實際應用題時，首先需要將文字語言轉化為集合語言，然后借助Venn圖分析，結合集合的交、并、補運算處理，體現Venn圖的簡明、直觀。

四、結論

高中數學作為高中課程的重要組成部分，在高考命運的安排中起著決定性的作用。在高中數學解題過程中，數形結合思想作為一種重要的方法，是幾何問題和代數問題相互轉換和聯系的橋梁。教師在教學的過程中，應該不斷的滲透和引導學生運用數形結合思想，讓學生掌握數形結合的本質，幫助學生在解題的過程中能夠靈活自覺的運用數形結合思想，提高解題的速度和能力。