例析求函數解析式的方法與技巧

山東省樂陵第一中學 張 偉

“求函數解析式” 是《普通高中教科書·數學·必修一》(人教版)的重要內容,是進一步學習“基本初等函數”和“函數的應用”的基礎.在高考中,通常不會直接考查函數的解析式,但解析式往往是解函數題的基礎,所以學習和掌握求函數解析式的方法與技巧非常重要.在具體解題中,可以嘗試運用以下六種方法.

1 配湊法

配湊法是一種結構化的方法,即根據已知函數的類型及解析式的特征,配湊出復合變量的形式,從而求出解析式.具體方法是:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),即可得到f(x)的表達式.使用配湊法時,要注意定義域的變化.

配湊法的關鍵在于如何“配”和“湊”,讓題目的條件轉化為容易求解的形式,方法靈活多樣,不同的題目,配湊的方法不同.

例1已知f(x+1)=x2-3x+2,求函數f(x)的解析式.

解：因為f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5(x+1)+6,所以f(x)=x2-5x+6.

方法與技巧：配湊法的技巧大多是配湊公式,例如本題中就是化用了公式(a-b)2=a2-2ab+b2,只需把原復合函數解析式配湊成關于x+1的多項式即可.

2 換元法

換元法即變量替換,其實質就是轉化.通過轉化達到“化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉”的目的.對于形如y=f[g(x)]的函數解析式,令t=g(x),從中求出x=φ(t),然后代入表達式求出f(t),最后將t換成x,得到f(x)的解析式.換元時要注意新元的取值范圍.

例3已知af(4x-3)+bf(3-4x)=2x,a2≠b2,求函數f(x)的解析式.

①

將①中的t換成-t,得

②

①×a-②×b,得

由a2≠b2,得a2-b2≠0.

方法與技巧：因為本題的左邊有多項式4x-3,所以首先將4x-3換為t,然后再將t換成-t,求出f(t)后再將t換成x,最后得到f(x)的解析式.

③

④

⑤

由③式,可得

⑥

3 待定系數法

如果已知所求函數的類型(如一次函數、二次函數),可先設出所求函數的解析式,再根據題意列出方程組求出系數.具體方法是:先設出含有待定系數的解析式,再利用恒等式的性質,或將已知條件代入,建立方程(組),通過解方程(組)求出相應的待定系數.

例5已知f(x)是二次函數,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求函數f(x)的解析式.

解：設f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=0可知c=0,所以f(x)=ax2+bx.

又f(x+1)=f(x)+x+1,所以

a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.

即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.

方法與技巧：由已知條件可知f(x)是二次函數,所以設f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由于推知c=0,于是得出ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,進而根據對應系數相等的關系,求出a,b的值即可.

例6若二次函數f(x)的頂點坐標為(1,4),其與x軸的交點為(-1,0),試求函數f(x)的解析式.

解法1：設函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則有

所以f(x)=-x2+2x+3.

解法2：設f(x)=a(x+m)2+k,因為當m=-1時,k=4,所以f(x)=a(x-1)2+4.

由f(-1)=0 ,得a(-1-1)2+4=0,則a=-1.

故f(x)=-x2+2x+3.

方法與技巧：本題的兩種解法都運用了待定系數法.解法1運用二次函數的一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0),通過解方程組求出a,b,c的值代入獲解;解法2運用二次函數的頂點式f(x)=a(x+m)2+k來求解.它們有異曲同工之妙.

4 解方程組法

⑦

⑦式中用-x代替x,得

⑧

聯立⑦⑧,解得

⑨

方法與技巧：本題根據題設條件用-x代替x,構造一個對稱方程組,通過解方程組即可得到f(x)的解析式.

例8已知函數f(x)滿足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.

解：將f(-x)+2f(x)=2x中的-x用x代換,得f(x)+2f(-x)=2-x.

聯立兩式,解得3f(x)=2x+1-2-x.

5 賦值法

賦值法的解題思路是對變量取適當的特殊值,使問題具體化、簡單化,進而依據結構特點找出一般規律,求出函數解析式.

例9已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求函數f(x)的解析式.

解：令a=0,得

f(-b)=f(0)-b(1-b)=b2-b+1.

令-b=x,得f(x)=x2+x+1.

方法與技巧：從本題可以看出賦值法的解題規律.①當所給函數方程含有兩個變量時,可以考慮對這兩個變量交替用特殊值代入,或使這兩個變量相等代入,再運用已知條件,即可求出函數解析式;②根據題目的具體特征來確定取什么特殊值;③取特殊值代入的目的,是為了使問題具體化、簡單化,進而找出規律,求出函數解析式.

解：令x=0,y=t,得

f(t)+f(-t)=2acost.

⑩

f(π+t)+f(t)=0.

f(π+t)+f(-t)=-2bsint.

所以f(x)=acosx+bsinx.

6 代入法

代入法求函數解析式的特點是,知道已知函數圖象或者方程曲線的一個點A,通過題目中的關系,用所求的函數圖象或者方程曲線上點B的坐標表示出點A的坐標,再將點A的坐標代入已知的函數或者方程中,即可求出所需的函數解析式或曲線方程.

例11已知定義在實數集R上的函數y=f(x)圖象關于直線x=2對稱,并且在[0,2]上的解析式為y=2x-1,求函數f(x)在[2,4]上的解析式.

解：設M(x,y)x∈[2,4]在函數f(x)的圖象上,點M′(x′,y′)與M關于直線x=2對稱,則

又y′=2x′-1.

所以y=2(4-x)-1,即y=7-2x.

故函數f(x)在[2,4]上的解析式為y=7-2x.

方法與技巧：從本題的求解過程可以看出,求已知函數關于某點或者某條直線的對稱函數時,采用代入法比較簡捷.

例12如圖1,某地有一座形如拋物線的石拱橋,已知其跨度為37.4 m,拱高為7.2 m,求此石拱橋所在拋物線的解析式.

圖1

解：如圖2,以拋物線的對稱軸為y軸,以寬AB的中點為原點,建立平面直角坐標系xOy,令拋物線的解析式為y=ax2+7.2.

圖2

將點B(18.7,0)代入,得0=(18.7)2a+7.2.

方法與技巧：本題屬于拋物線的實際應用題,體現了數形結合的思想,解題技巧在于把拋物線放在合適的平面直角坐標系中,設出相應的解析式,這樣能夠使解題過程變得簡潔.

通過對上述典例的解析,我們可以看到,嫻熟地運用“六法”可以應對絕大多數求函數解析式類的題型,“六法”各自既有其獨特性,相互之間又有聯系,有時一種題型可以用幾種方法來求解,達到一題多解的效果.