二次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法探究

羅桂玉

（廣西都安瑤族自治縣拉仁鎮(zhèn)拉仁中學(xué)，廣西 河池 530737）

二次函數(shù)綜合性相當(dāng)強(qiáng)。它知識點(diǎn)多，不但涉及到一次函數(shù)知識，而且涉及到方程和不等式，幾何的全等、相似、勾股定理、四邊形等知識。另外，它還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程觀念、轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對學(xué)生的能力要求相當(dāng)高，初學(xué)者不易掌握。同時(shí)，它不但是歷年中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，也是進(jìn)入高中學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)。所以教好二次函數(shù)總的策略是在理解并掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、方程、不等式以及幾何知識的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，并能在其中滲透重要的數(shù)學(xué)思想和方法。

一、二次函數(shù)教學(xué)要點(diǎn)

（一）教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合具體情境掌握二次函數(shù)的表達(dá)式，理解函數(shù)存在的意義；學(xué)會(huì)利用描點(diǎn)法繪制二次函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)的基本性質(zhì)；學(xué)會(huì)利用配方的方法找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對稱軸及其圖像的開口方向，解決實(shí)際問題。

（二）教學(xué)難點(diǎn)。

探究二次函數(shù)定義與二次函數(shù)的表達(dá)式；巧妙的利用二次函數(shù)反映出變量的關(guān)系，對生活中存在的實(shí)際問題進(jìn)行列式解決；掌握二次函數(shù)的最值問題，尋求解決辦法；合理的將生活問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)問題，明確變量之間的關(guān)系，提高學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

二、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)策略

（一）用方程思想和類比的學(xué)習(xí)方法解決二次函數(shù)問題

1.求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

令y=0，就把二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次方程，求出x的值，即為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

2.求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

以上問題，我們也可以通過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)類比得到。在八年級學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，我們同樣要求與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，方法一致。這可讓學(xué)生感受到二次函數(shù)不是那么的空洞和孤立，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

（二）用對稱性解決二次函數(shù)有關(guān)問題

（三）用數(shù)形結(jié)合法解決二次函數(shù)問題

A.x＜-2B.x＞8C.-2＜x＜8D.x＜-2或x＞8

（四）掌握一些特殊值

分析：由a+b+c+2=0，得a+b+c=-2，所以拋物線過（1，-2）。此題就容易解決了。

正確的個(gè)數(shù)是（）。

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

分析：由二次函數(shù)的性質(zhì)，容易判斷a＜0，b＜0，c＞0；②就找對稱軸，，得b=2a；③就找x=1；⑤就找x=-1。

（五）二次函數(shù)的綜合運(yùn)用

二次函數(shù)在中考中，常常以一種綜合性強(qiáng)、涉及知識點(diǎn)多的形式出現(xiàn)。

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在直線l下方的拋物線上，過點(diǎn)作DE∥y軸交l于E、作DF⊥l于F，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t。

①用含t的代數(shù)式表示DE的長；

②設(shè)Rt△DEF的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式，并求p的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，若△BMN是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

分析：（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過解方程組即可求出b、c的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）①首先用t表示出E、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，它們差的絕對值即為DE的長度表達(dá)式。②此題若求△DEF的三邊長難度比較大，所以需要轉(zhuǎn)換一下解題思路。觀察圖形，若設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為G，顯然，△GBO和△DEF相似。所以，先求出△GBO的周長，然后，利用相似三角形的周長比等于對應(yīng)邊的比來列式求解。

（3）若表達(dá)出△BMN的三邊長，然后根據(jù)等腰直角三角形的腰相等和勾股定理來列方程組，這樣解答的計(jì)算量會(huì)非常大。所以，可以從幾何角度入手來降低解題難度。首先，△BMN是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，那么，可以根據(jù)腰相等來構(gòu)建全等三角形解答。作出點(diǎn)M在y軸左側(cè)的圖形（無論點(diǎn)M在哪里，解題思路相同），過M作y軸的垂線，交x軸于R，過B作MR的垂線，設(shè)垂足為S，那么，通過證△MNR≌△BMS，得出MR=BS=OR，即點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)的絕對值相同，再聯(lián)立拋物線的解析式，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

反思與總結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不只是要提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績，學(xué)習(xí)新知識，還要提升學(xué)生自身素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)中，除了接受新知識，還需要舊知識的鋪墊與過渡，只有以基礎(chǔ)知識為前提，才能增加自身知識儲備量，因此在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，要對學(xué)習(xí)的舊知識加以鞏固。同時(shí)，教師應(yīng)以學(xué)生為主體，結(jié)合學(xué)生生活，選取學(xué)生易于感興趣的事物，吸引學(xué)生注意力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力。

此外，教師應(yīng)樹立與時(shí)俱進(jìn)的觀念，善于利用信息技術(shù)，制作PPT，賦予數(shù)學(xué)課堂趣味化，添加生動(dòng)的圖片激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，推動(dòng)教學(xué)的順利進(jìn)行。

三、結(jié)語

以上是筆者教學(xué)中一些經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，正確掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵，有待進(jìn)一步研究。我們應(yīng)該進(jìn)一步了解函數(shù)思想和方法，學(xué)會(huì)通過類比、數(shù)形組合等方法解決二次函數(shù)相關(guān)問題，并注意二次函數(shù)與一次函數(shù)、方程（組）和不等式之間的關(guān)系，并教學(xué)生要從數(shù)學(xué)角度分析問題并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，通過實(shí)踐，體驗(yàn)數(shù)學(xué)來自生活，服務(wù)于生活。