考慮滑移和剪力滯的曲線組合箱梁理論模型研究

張慶，李林安, 2，戚佳穎，王世斌

考慮滑移和剪力滯的曲線組合箱梁理論模型研究

張慶1，李林安1, 2，戚佳穎1，王世斌1

(1. 天津大學 機械工程學院，天津 300350；2.天津市現代工程力學重點實驗室，天津 300350)

針對曲線鋼-混凝土組合箱梁在靜力荷載下的力學響應問題，基于曲線組合箱梁截面內應變與基本變形之間的關系，提出考慮界面滑移和剪力滯的曲線組合箱梁理論模型。基于該模型，利用伽遼金法得到曲線組合箱梁的豎向撓度、滑移變形和軸向應力等力學參量的近似解。同時以某簡支曲線組合箱梁為例，對比本文理論結果和有限元模擬結果，驗證本文理論模型的正確性和適用性。研究若干關鍵參數對曲線組合箱梁豎向撓度和剪力滯系數的影響，并預測最優滑移剛度。

橋梁工程；理論模型；最小勢能原理；曲線組合箱梁；有限元

鋼?混凝土組合梁是由上部鋼筋混凝土板和下部鋼梁通過剪力釘連接而成的組合結構，因其充分發揮了混凝土材料抗壓和鋼材抗拉的優勢，近年來被橋梁設計者廣泛采用[1]。而組合梁中使用的剪力釘是一種柔性構件，在界面剪力作用下會導致滑移變形，且工字型和箱型截面會引起頂板和底板的剪力滯效應，這都使得組合梁受力狀態更為復雜。對于組合梁滑移和剪力滯問題的研究最初是基于工字型鋼梁截面。孫飛飛等[2]綜合考慮混凝土頂板剪力滯、界面滑移和鋼梁剪切變形，提出了鋼?混凝土組合梁單元。聶建國等[3?4]分別引入基于截面和單元的有效寬度系數用于組合梁剪力滯效應的簡化設計。WANG等[5]推導了簡支組合梁等效抗彎剛度的顯式公式。與工字梁相比，箱型截面梁具有更好的抗扭剛度。周凌宇等[6]基于混凝土頂板和鋼箱梁的滑移位移模式，建立了適用于大跨度組合箱梁的空間有限梁段法。CHENG等[7]考慮了剪力滯和剪切變形，求得組合箱梁撓度的解析解。孫林林 等[8?10]進一步對組合箱梁撓度和剪力滯系數的影響因素進行了分析，其中包括滑移剛度、寬跨比和頂底板厚度等。鋼?混凝土組合梁的理論研究已經取得一定的成果，但多針對的是工字型或箱型的直線組合梁。曲線組合梁由于能更好地適應道路線形變化，在城市立交橋和高架橋中被廣泛使用。聶建國等[11]提出了曲線組合箱梁的桿系模型，并驗證了桿系模型的適用性。張彥玲等[12]分析了橫隔板對曲線組合箱梁彎扭性能和滑移規律的影響。Erkmen等[13]同時考慮切向和徑向滑移，舉例說明了初始曲率和局部剪力連接對曲線組合梁變形的影響。綜上，目前針對曲線組合箱梁的研究主要集中在數值模擬方面，還沒有形成能得到其變形和應力的理論模型。為此，本文將建立曲線組合箱梁力學分析的理論模型，綜合考慮界面滑移、剪力滯和曲梁彎扭耦合，基于最小勢能原理建立曲線組合箱梁的控制微分方程，并確定相應的邊界條件。然后采用伽遼金法對微分方程進行求解，以期得到曲線組合箱梁的豎向撓度、滑移變形和軸向應力等力學參量的近似表達式。

1 基本假定

以曲線鋼?混凝土組合箱梁為對象，首先建立如圖1所示的坐標系，以截面形心為原點，軸沿半徑方向，指向圓心為正，軸位于截面內，豎直向下為正，軸沿著曲線梁軸方向，并與和軸形成符合右手螺旋定則的正交坐標系。

組合箱梁橫截面如圖2所示，其中1，2，3，4和*分別為混凝土頂板、懸臂板、鋼梁底板、腹板和托板厚度；B為箱梁腹板中線之間的距離，B為懸臂板的寬度；h和h分別為頂板和底板中心線到組合梁形心的距離；為截面扭心。

為了簡化分析，本文采用的基本假定如下：

1) 曲線組合箱梁為平面彎曲結構，其受力行為滿足線彈性小變形假定，且不考慮截面畸變；

2) 忽略半徑沿梁寬的變化，應變基于小曲率曲線組合梁計算；

3) 不考慮鋼腹板的剪切變形；

4) 混凝土板和鋼箱梁的豎向撓度完全相同，在豎向靜力荷載下忽略曲線組合梁的橫向彎曲及 變形；

5) 經過有限元建模計算，發現縱向滑移變形遠大于橫向滑移變形，因此本文理論模型不考慮橫向滑移的影響；

6) 界面剪力與縱向滑移符合線彈性的本構 關系。

圖1 曲線組合箱梁坐標系

圖2 曲線組合箱梁橫截面

2 曲線組合箱梁的總勢能分析

曲線組合箱梁的總勢能包括彈性應變能和外力勢能，為得到彈性應變能，可按照豎向撓曲應變、扭轉應變和滑移應變先對各點應變進行計算。

2.1 考慮剪力滯的豎向撓曲應變

式中：1，2和3分別是混凝土頂板和懸臂板以及鋼梁底板相關量的下標；()為縱向最大剪切位移差；f()采用文獻[14]中的剪滯翹曲形函數。

2.2 扭轉應變

本文在計算扭轉產生的剪應變時，橫截面扭矩只計及自由扭轉扭矩T：

式中：為自由扭轉的剪力流。

2.3 滑移應變

式中：k和k分別為混凝土板和鋼箱梁的縱向滑移函數；為鋼材與混凝土彈性模量的比值。

式中：h和h分別為混凝土頂板和鋼箱梁形心到組合梁界面的距離。

抗剪連接件引入線彈性的本構關系，則單位長度上的界面剪力q為：

式中：p為單位長度上的剪切滑移剛度。

2.4 曲線組合箱梁的總勢能

綜上，曲線組合箱梁的彈性應變能可按照混凝土頂板、懸臂板、鋼底板和鋼腹板分別計算，且需考慮抗剪連接件。基于之前推導的應變，各分塊應變能U和總應變能可表示為：

式中：1，2和3分別為頂板、懸臂板和底板面積的一半，4為單側腹板面積；ε和γ分別為各分塊的正應變和剪應變；*為混凝土或鋼材彈性模量；為曲線梁軸總長。

在豎向分布荷載q和分布扭矩作用下，外力勢能為：

3 力學分析的控制微分方程及求解

3.1 控制微分方程和邊界條件

在得到梁段總勢能后，基于最小勢能原理推導曲線組合箱梁力學分析的控制微分方程和邊界條件。將總勢能對4個變量分別求一階變分為0，得到的控制微分方程如下：

對式(21)進行變分時，經分部積分得到的自然邊界條件為：

式中：I，I和I分別為橫截面剪力滯矩、對軸的彎曲剪力滯耦聯矩和彎曲慣性矩；I為扭轉翹曲慣性矩；S為對軸的靜矩；S為剪力滯靜矩；J為扭轉常數；K為剪滯翹曲面積；*為混凝土板或鋼箱梁形心。上述剛度指標的具體表達式為：

3.2 曲線組合箱梁的伽遼金求解法

理論模型的控制微分方程可通過解析法求解，但過程繁瑣，解析解形式復雜。在滿足工程應用的前提下，也可采用數值法求其近似解，伽遼金法則甚為方便[14]。針對不同類型的梁，伽遼金法首先選取有限項帶有待定參數的試探函數疊加，然后采用使余量的加權積分(權函數即所選試探函數)為0得到一組線性代數方程，用以求解待定參數，且自然邊界條件自動得到滿足。以下將列出簡支曲線組合箱梁采用伽遼金法求解的詳細過程。

梁跨受豎向荷載的簡支曲線組合梁邊界條 件為：

式中：

連續曲線組合梁可分解為簡支曲線組合梁后采用疊加原理求解。以受豎向均布荷載的兩跨連續曲線組合箱梁為例，如圖3(a)所示，詳細展開其基本變形的求解步驟。首先，將兩跨連續曲線組合箱梁去掉中間的點鉸支座，并以豎向的多余未知力1代替其作用，那么便得到承受豎向均布荷載q和多余未知力1的簡支體系，如圖3(b)所示。顯然，如果能求出圖中的多余未知力，便可以通過簡支曲線組合箱梁的線性方程組(35)求解基本變形。所以，令圖3(c)和圖3(d)中承受均布荷載和集中荷載的簡支梁在處撓度之和為0，即可計算多余未知力1。多余未知力得到后，圖3(b)基本體系的豎向撓度便可求，同時切向相對滑移的近似解也可以得到。

(a) 原結構；(c) 承受均布荷載的簡支梁；(b) 基本體系；(d) 承受集中荷載的簡支梁

圖3 連續曲線組合梁的等效圖示

Fig. 3 Equivalent diagram of two span continuous curved composite beam

4 例證

本文進行了2種工況下的模型驗證，分別是跨中承受集中荷載180 kN和全跨承受均布荷載90 kN/m。驗證時利用有限元軟件ANSYS建立三維模型，混凝土板采用SOLID65單元，鋼箱梁采用SHELL181單元。由于只考慮沿梁軸方向的滑移變形，栓釘采用單向彈簧單元COMBIN39。曲線組合箱梁的有限元模型如圖5所示。利用本文理論模型和有限元模型分別對跨中截面的圖4各測點處正應力進行計算，均布荷載作用下計算結果及對比列入表1。

單位：mm

圖4 曲線組合箱梁截面尺寸

Fig. 4 Section size of curved composite box girder

圖5 曲線組合箱梁的有限元模型

從表1可以看出，在均布荷載作用下，本文理論解與有限元結果的差值百分比在5%以內，二者數值吻合良好。同時在集中荷載作用下，二者差值百分比也在5%以內，此處不再詳細列出相關數據。因此，證明本文理論模型可用于分析簡支曲線組合箱梁在靜力荷載下的力學特性。

基于理論模型的正確性，本文對不考慮滑移和剪力滯的應力也進行了計算，結果表明：若不考慮滑移和剪力滯，頂板應力誤差最大時可達到31.62%，底板也會達到15.10%，且滑移對應力的影響遠大于剪力滯。因此，曲線組合箱梁的滑移效應不可忽視。

5 參數分析

以上述簡支曲線組合箱梁為基礎，研究跨曲比、滑移剛度和寬跨比對曲線組合箱梁豎向撓度和剪力滯系數的影響，此處的豎向撓度指形心位置的撓度。

5.1 跨曲比對曲線組合梁撓度的影響

在計算跨曲比對結構豎向撓度的影響時，采取保持跨長不變而減小曲率半徑的方法，得到均布荷載下豎向撓度在跨度方向上的變化規律如圖6 所示。

由圖6可知，曲線組合梁的豎向撓度隨跨曲比的增大而增大。跨曲比等于0.75時，曲線組合梁與直線組合梁的撓度相差5.3%；跨曲比達到1.2倍時，兩者撓度相差13.7%。經過進一步計算，當跨曲比小于0.73，即圓心角度數小于42°時，兩者撓度相差不到5%，可近似按同等跨長的直梁計算曲線組合梁的撓度；圓心角度數大于42°時，跨曲比對曲線組合梁撓度的影響不可忽視。

表1 均布荷載作用下跨中截面應力對比

圖6 豎向撓度沿梁長的分布

5.2 滑移剛度對曲線組合梁撓度的影響

滑移剛度是指由式(37)得到的單位長度上的剪切滑移剛度。均布荷載90，75和60 kN/m作用下跨中撓度隨滑移剛度的變化規律如圖7所示。

由圖7可以看出，跨中撓度隨滑移剛度的增大而曲線減小。滑移剛度較小時，曲線組合梁撓度顯著減小；滑移剛度增大到一定值時，它對撓度的影響基本可以忽略。通過分析圖7所示跨中撓度與滑移剛度的關系曲線，認為當其斜率等于?10?6時，達到最優滑移剛度，即剛度繼續增大對豎向撓度的影響較小。本文算例的設計承載力N為150 kN/m，則圖中3種荷載分別對應0.6N，0.5N和0.4N，最優滑移剛度分別為1 375，1 235和1 117。

5.3 寬跨比對曲線組合梁剪力滯系數的影響

計算曲線箱梁剪力滯系數時，將翼板應力圍成的面積除以翼板寬度作為分母，分子采用各點考慮剪力滯效應時的實際正應力。本文在分析寬跨比對曲線組合箱梁剪力滯的影響時，保持頂板寬度不變而減小跨長，寬跨比分別取0.11，0.13和0.15。均布荷載下跨中截面混凝土板和鋼底板剪力滯系數變化規律如圖8和圖9所示。

圖7 跨中撓度隨滑移剛度的變化

圖8 混凝土板的剪力滯系數分布

由圖8和圖9可知，隨著寬跨比的增大，頂板與外側腹板相交處剪力滯系數從1.007增加到1.016，頂板與內側腹板相交處剪力滯系數從1.005增加到1.013；底板與外側腹板相交處剪力滯系數從1.021增加到1.041，底板與內側腹板相交處剪力滯系數從1.030增加到1.051。由于扭轉翹曲的存在，混凝土板和鋼底板剪力滯系數出現不對稱現象，頂板與曲梁外側腹板相交處剪力滯系數大于內側，底板則正好相反。相較于直梁截面剪力滯系數對稱分布的特征，設計者應該對曲線組合梁剪力滯系數較大一側的應力予以重視。

圖9 鋼底板的剪力滯系數分布

6 結論

1) 理論計算和有限元模擬得到的應力數值吻合良好，與復雜的三維有限元模型相比，本文方法快捷有效，為曲線組合箱梁力學特性的分析提供了理論依據。

2) 相同載荷下，隨著跨曲比的增大，曲線組合梁的豎向撓度呈增大趨勢。當跨曲比小于0.73時，可近似按同等跨長的直梁計算曲線組合梁的撓度。

3) 基于豎向撓度隨滑移剛度的變化曲線，可預測最優滑移剛度。組合梁設計時，在滿足構造要求的前提下，可通過改變栓釘直徑和間距以及混凝土標號來達到最優滑移剛度。

4) 隨著寬跨比的增大，曲線組合箱梁的頂、底板與腹板相交處剪力滯系數逐漸增大，且同一截面內剪力滯系數的分布出現不對稱現象。

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Study on theoretical model of curved composite box girder considering slip and shear lag

ZHANG Qing1, LI Linan1, 2, QI Jiaying1, WANG Shibin1

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China; 2. Tianjin Key Laboratory of Modern Engineering Mechanics, Tianjin 300350, China)

In order to solve the problem of mechanical response of curved steel-concrete composite box girder under static load, a theoretical model for mechanical analysis of curved composite box girder considering interface slip and shear lag was proposed in this paper. This model was deduced by the relation between the strain and the basic deformation in the section of the curved composite box girder. Based on this model, Galerkin method was used to obtain the approximate solutions of mechanical parameters such as vertical deflection, slip deformation and axial stress of curved composite box girder. At the same time, taking a simply supported curved composite box girder as an example, the theoretical calculation results in this paper were compared with the finite element numerical simulation results, proving the correctness and applicability of the theoretical model in this paper. Finally, the influence of some key parameters on vertical deflection and shear lag coefficient of curved composite box girder was studied, and the optimal slip stiffness was predicted.

bridge engineering; theoretical model; principle of minimum potential energy; curved composite box girder; finite element

U448.21+6

A

1672 ? 7029(2019)08? 1989 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.08.016

2018?11?05

國家自然科學基金資助項目(11572218)

李林安(1966?)，男，山西呂梁人，教授，博士，從事橋梁與結構工程研究；E?mail：lali@tju.edu.cn

(編輯 蔣學東)