一個(gè)數(shù)學(xué)游戲的一點(diǎn)探討

蔣金團(tuán)

（云南省保山市施甸縣第一完全中學(xué)，云南 保山 678200）

一、問(wèn)題的描述

在美國(guó)，曾經(jīng)流行過(guò)這樣一個(gè)數(shù)學(xué)游戲。這個(gè)游戲的規(guī)則十分簡(jiǎn)單，任意寫出一個(gè)自然數(shù)N，如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變換成3N+1；如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變換成N/2。得到第一個(gè)結(jié)果之后，按照規(guī)則重復(fù)運(yùn)算，則無(wú)論N是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終無(wú)法逃出落入底部的4-2-1-4循環(huán)。這就是著名的“冰雹猜想”，在亞洲也被稱作稱角谷猜想。

二、問(wèn)題的分解

（一）放大倍數(shù)

1.“3N+1”與倍數(shù)的關(guān)系

對(duì)于任意奇數(shù)N,根據(jù)角谷變換規(guī)則,它的第一步將變?yōu)?N+1,此時(shí)放大了多少倍?

①當(dāng)N=1時(shí),倍數(shù)=4；②當(dāng)N為大于1的奇數(shù)時(shí),“乘3加1”變換相當(dāng)于把奇數(shù)放大了三點(diǎn)幾倍.

（二）步數(shù)討論：任意自然數(shù)經(jīng)過(guò)多步角谷變換之后,能回到自身?

為了討論的方便,我們?cè)O(shè)起始數(shù)為偶數(shù).因?yàn)閷?duì)奇數(shù)實(shí)施“乘3加1”變換時(shí),它將變成偶數(shù),具體來(lái)說(shuō)，尾數(shù)為1的每一個(gè)奇數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)尾數(shù)為4的偶數(shù),尾數(shù)為3的每一個(gè)奇數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)尾數(shù)為0的偶數(shù),尾數(shù)為5的每一個(gè)奇數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)尾數(shù)為6的偶數(shù),尾數(shù)為7的每一個(gè)奇數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)尾數(shù)為2的偶數(shù),尾數(shù)為7的每一個(gè)奇數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)尾數(shù)為2的偶數(shù),只要證明偶數(shù)經(jīng)過(guò)多次角谷變換之后都后回到谷底1,則奇數(shù)同樣如此.

1.偶數(shù)經(jīng)過(guò)兩步變換能回到自身?

設(shè)X1為起始偶數(shù)項(xiàng),X1要想回到自身,只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù),即解得因此沒(méi)有偶數(shù)經(jīng)過(guò)兩步變換能回到自身。

2.偶數(shù)經(jīng)過(guò)三步變換能回到自身?

設(shè)X1為起始偶數(shù)項(xiàng),X1要想回到自身,只能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù),所以流程中只能有兩次”除以2”變換和一次“乘3加1”變換,根據(jù)流程可列如下方程：

結(jié)論：在一切偶數(shù)中,只有2、4兩個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)三步變換能回到自身.

3.偶數(shù)經(jīng)過(guò)四步變換能回到自身?

四步變換只能是如下的組合：3次“除以2”變換和1次“乘3加1”變換；2次“除以2”變換和2次“乘3加1”變換；1次“除以2”變換和3次“乘3加”變換；顯然任意一種組合,都不可能滿足放大倍數(shù)等于縮小倍數(shù),所以一切自然數(shù)經(jīng)過(guò)四步變換都不可能回到自身,同理可討論一切自然數(shù)經(jīng)過(guò)5步變換都不可能回到自身.

4.偶數(shù)經(jīng)過(guò)六步及其以上的變換時(shí),能回到自身?

當(dāng)變換過(guò)程有六個(gè)步驟時(shí),流程至少包含兩個(gè)“乘3加1”變換,否則放大倍數(shù)遠(yuǎn)小于縮小倍數(shù),但是一旦出現(xiàn)兩次“乘3加1”變換,至少有一次的放大倍數(shù)為”三點(diǎn)幾倍”,出現(xiàn)小數(shù),而縮小倍數(shù)只能是偶數(shù),兩者不可能相等.所以一切偶數(shù)經(jīng)過(guò)六步及其以上變換時(shí),都不可能回到自身.

綜上所述,“2、4”除外的一切偶數(shù)經(jīng)過(guò)角谷變換后都不能回到自身,無(wú)論變換過(guò)程有多少步；因此“1”除外的一切奇數(shù)經(jīng)過(guò)角谷變換后都不能回到自身,無(wú)論變換過(guò)程有多少步。即“1、2、4”除外的一切自然數(shù)經(jīng)過(guò)角谷變換都不能回到自身。

（三）討論變換特點(diǎn)

根據(jù)尾數(shù)，將自然數(shù)分成十行，每一行都是公差為10的等差數(shù)列，第一行的通項(xiàng)公式為10k1+1(k1=0、1、2、3、...）；第二行的通項(xiàng)公式為10k2+2(k2=0、1、2、3、...）；第三行的通項(xiàng)公式為10k3+3(k3=0、1、2、3、...）；第四行的通項(xiàng)公式為10k4+4(k4=0、1、2、3、...）；第五行的通項(xiàng)公式為10k5+5(k5=0、1、2、3、...）；第六行的通項(xiàng)公式為10k6+6(k6=0、1、2、3、...）；第七行的通項(xiàng)公式為10k7+7(k7=0、1、2、3、...）；第八行的通項(xiàng)公式為10k8+8(k8=0、1、2、3、...）；第九行的通項(xiàng)公式為10k9+9(k9=0、1、2、3、...），第十行的通項(xiàng)公式為10k10+10(k10=0、1、2、3、...）。

根據(jù)變換規(guī)則，對(duì)奇數(shù)實(shí)行“乘3加1”變換之后將變?yōu)榕紨?shù)，具體如下，第1行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第3行奇數(shù)將演變?yōu)榈?0行偶數(shù)，第5行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第7行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù)，第9行奇數(shù)將演變?yōu)榈?行偶數(shù).

根據(jù)變換規(guī)則，對(duì)偶數(shù)實(shí)行“除以2變換”變換，相應(yīng)的約束關(guān)系討論如下。

1.第2行偶數(shù)的變換特點(diǎn)

對(duì)第2行偶數(shù)實(shí)行“除以2”變換之后，有一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行奇數(shù)，另一半偶數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榈?行偶數(shù)，相應(yīng)的約束條件如下：

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

上述討論結(jié)果可用如下流程圖表示：

同理可討論其它行偶數(shù)除以2之后的變換特點(diǎn)和上述流程類似，最后可把各行變換組成如下網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。

通過(guò)以上的網(wǎng)狀圖可以得出一個(gè)重要結(jié)論：當(dāng)自然k數(shù)從某行演變?yōu)榱硗庖恍袝r(shí)，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值數(shù)量都會(huì)在原來(lái)的基礎(chǔ)之上減少，同時(shí)每碰到“除以2”變換一次，符合條件的k值之間的間隔將增大，因?yàn)榕龅健俺?”變換時(shí)，k值將會(huì)分成奇偶兩支。

三、問(wèn)題的解決及相關(guān)的證明

為了討論方便，在上面的網(wǎng)狀圖中，我們將“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”這一路徑稱為主鏈。因?yàn)榈?行的數(shù)值演變成第2行的數(shù)時(shí)，演變結(jié)果包含第2行的一切數(shù)值（2、12、22、32、42……）；第2行的數(shù)值演變成第6行時(shí)，演變結(jié)果包含第6行的一切數(shù)值（6、16、26、36、46……）；第6行的數(shù)值演變成第8行時(shí)，演變結(jié)果包含第8行的一切數(shù)值（8、18、28、38、48……）；第8行的數(shù)值演變成第4行時(shí)，演變結(jié)果包含第4行的一切數(shù)值（4、14、24、34、44……）。

假設(shè)有一個(gè)數(shù)能在路徑“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之間不停循環(huán)，則將會(huì)有更多的數(shù)能在該環(huán)形圈里面循環(huán)，因?yàn)?、2 、4除外的自然數(shù)經(jīng)過(guò)角谷變換之后都回不到自身。這樣一來(lái)，在無(wú)窮次循環(huán)過(guò)程中，有一些滿足條件的數(shù)之間的距離將永遠(yuǎn)保持不變。但另一方面，第6行的數(shù)經(jīng)“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”路徑再次回到第6行時(shí)，接下來(lái)是除以2變換，滿足條件的數(shù)都會(huì)減少，每循環(huán)一次，滿足條件的數(shù)就減少一次，即滿足條件的數(shù)與數(shù)之間的距離終會(huì)改變，這與前面的分析產(chǎn)生了矛盾,這說(shuō)明前面的假設(shè)是錯(cuò)誤的，因此沒(méi)有數(shù)能在路徑“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之間永遠(yuǎn)循環(huán)下去。用同樣的方法可以證明，沒(méi)有數(shù)能在路徑“第8行→第9行→第8行”之間無(wú)窮循環(huán)；也沒(méi)有數(shù)能在路徑“第1行→第4行(第7行)→第2行→1行”之間無(wú)窮循環(huán)(1、2、4三個(gè)數(shù)除外)。綜上所述，一個(gè)數(shù)最終沒(méi)有落入底部的“4-2-1-4”循環(huán)，則這個(gè)數(shù)將無(wú)數(shù)次經(jīng)過(guò)主鏈的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，這樣來(lái)問(wèn)題就好辦多了。

為討論的方便，我們?cè)O(shè)“第4行”的數(shù)為首項(xiàng),如果有一個(gè)數(shù)沒(méi)有落入谷底1.則這個(gè)數(shù)將無(wú)數(shù)次演變成主鏈上的節(jié)點(diǎn)數(shù)，而節(jié)點(diǎn)數(shù)又可以看成是第4行的某個(gè)數(shù)沿著主鏈多次除以2得到的，因?yàn)樽儞Q可以無(wú)窮無(wú)盡持續(xù)下去，這就要求第4行中有一個(gè)數(shù)能沿著主鏈無(wú)窮變換下去（如圖丙所示）。

但從循環(huán)圈的角度講，第4行的某個(gè)數(shù)沿著主鏈無(wú)窮變換下去，實(shí)質(zhì)上要求該數(shù)能在“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”循環(huán)圈里永遠(yuǎn)變換下去，如圖丁所示。根據(jù)前面的結(jié)論，“1、2、4”除外的一切自然數(shù)經(jīng)過(guò)角谷變換都不能回到自身，因此第4行的某個(gè)數(shù)沿著圖丁所示的循環(huán)圈再次回到第4行時(shí)，它已經(jīng)變成第4行的另一個(gè)數(shù)，即只要有一個(gè)數(shù)能在圖丁所示的循環(huán)圈里面無(wú)窮循環(huán)，則將會(huì)有更多的數(shù)能在循環(huán)圈里面無(wú)窮循環(huán)，也就是說(shuō)，在循環(huán)過(guò)程中，有一些滿足條件的數(shù)值，它們之間的間隔將保持不變。但事實(shí)上，第4行的所有數(shù)值沿著主鏈循環(huán)變換時(shí)，每碰到“除以2”變換一次，符合條件的數(shù)值就減少一次，滿足條件的那些數(shù)值之間的間隔終會(huì)改變，這與前面的分析產(chǎn)生了矛盾，因此前面的假設(shè)“如果有一個(gè)數(shù)沒(méi)有落入谷底1”是錯(cuò)誤的，角谷猜想得證。