微型四旋翼飛行器的分析

摘 要：本文初步建立了四旋翼飛行器的模型框架，并對其進(jìn)行了受力及力矩分析，初步建立了四旋翼飛行器的狀態(tài)方程，并用PID控制器對其進(jìn)行控制。

關(guān)鍵詞：四旋翼飛行器；狀態(tài)方程

一、引言

1.國內(nèi)四旋翼飛行器的發(fā)展現(xiàn)狀

國內(nèi)對四旋翼飛行器的研究工作相對國外較晚，但在不斷的摸索和實驗后也取得了值得肯定的進(jìn)步。目前，南京航空航天大學(xué)的飛行技術(shù)實驗室對四旋翼飛行器的研究一直名列前茅。[1]該實驗室于2008年基于時間尺度理論對飛行器進(jìn)行系統(tǒng)的劃分，并對劃分后的每個子系統(tǒng)都設(shè)計了控制器，實現(xiàn)了穩(wěn)定的飛行控制。國防科技大學(xué)的機(jī)器人實驗室成立于2004年，至今一直致力于四旋翼飛行器控制領(lǐng)域的研究，在不斷的努力中也取得了非常大的進(jìn)展。[2]除此之外，還有一些高等院校在四旋翼飛行器的研究方面也取得了可喜的進(jìn)展，如清華大學(xué)、北京理工大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)等。

與此同時，國內(nèi)許多新興的企業(yè)如雨后春筍般的涌現(xiàn)，尤其是位于行業(yè)領(lǐng)先的大疆創(chuàng)新公司。大疆創(chuàng)新公司成立于2006年，經(jīng)過不斷的發(fā)展，其技術(shù)水平一直領(lǐng)先于國內(nèi)外其他主營飛行器的廠商，這也使得大疆公司占據(jù)著全球無人機(jī)以及飛行器市場的半壁江山，在世界各地都能發(fā)現(xiàn)大疆無人機(jī)的身影，其產(chǎn)品如今也被廣泛的運用到測繪、安防、影視、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域中。[3]

2.飛行器的控制方法

四旋翼飛行器實質(zhì)上是一類復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，其本身具有復(fù)雜的動力學(xué)特性，在控制過程中多個量相互間不獨立，具有強耦合性，很難建立過渡段模式的精確數(shù)學(xué)模型。因此在分析時，往往將四旋翼飛行器視為剛體，所以必須對其在笛卡爾坐標(biāo)系下的平移運動以及繞自身機(jī)體軸的轉(zhuǎn)動做出正確的描述，這也就意味著四旋翼同時擁有6個自由度，但只由4個控制輸入量加以控制，因此，四旋翼飛行器又是一種控制輸入數(shù)目少于系統(tǒng)自由度個數(shù)的欠驅(qū)動系統(tǒng)。以上幾種特性無疑增加了設(shè)計一套高效的四旋翼飛行器控制方法的難度，這也是四旋翼跟蹤控制領(lǐng)域中的面臨一個很大的挑戰(zhàn)。目前，通常可以四旋翼飛行器的控制算法分為：線性控制方法以及非線性控制方法。

目前國際上經(jīng)常采用的控制算法有PID控制、反演控制、滑模控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制和自適應(yīng)控制等算法。本文結(jié)合實驗室現(xiàn)有資源，基于ARM內(nèi)核的嵌入式硬件平臺，最終選用基于PID改進(jìn)的串級PTD進(jìn)行四旋翼飛行器姿態(tài)控制算法的設(shè)計與實現(xiàn)。既實現(xiàn)了四旋翼飛行器對姿態(tài)控制要求的穩(wěn)定與及時，又考慮了嵌入式硬件平臺有限的資源，算法的實現(xiàn)具有很大的工程應(yīng)用價值。[4]

二、四旋翼飛行器的模型建立

1四旋翼飛行器空間運動的表示

1.1 飛行原理介紹

四旋翼飛行器由轉(zhuǎn)子、機(jī)架和飛行控制板組成。四個轉(zhuǎn)子固定在成“X”形狀的機(jī)架上，轉(zhuǎn)子由直流電機(jī)和螺旋槳構(gòu)成。四旋翼飛行器通過改變四個螺旋槳的轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)不同的飛行狀態(tài)，無需安裝轉(zhuǎn)軸，結(jié)構(gòu)比較簡單。

四旋翼飛行器的旋翼可以隨著機(jī)身軸距的增加而加大，以保證能夠為飛行提供足夠的動力。此外，四旋翼飛行器是通過平衡四個旋翼產(chǎn)生的力來實現(xiàn)精確飛行和穩(wěn)定懸停的，四個旋翼產(chǎn)生的推力較單個旋翼產(chǎn)生的推力能更好的實現(xiàn)飛行器的靜態(tài)懸停。四旋翼飛行器的相鄰電機(jī)之間的轉(zhuǎn)向相反，且都位于同一水平面，當(dāng)飛行器平衡飛行時，可以互相抵消自身旋翼旋轉(zhuǎn)所帶來的空氣動力扭矩效應(yīng)以及螺旋槳之間的空氣擾動。[5]四旋翼飛行器的基本運動方式主要有懸停、橫滾運動、俯仰運動、偏航運動以及升降運動。[6]

1.2 坐標(biāo)系的建立

為了說明質(zhì)點的位置、運動的快慢、方向等，我們需要選擇合適的坐標(biāo)系。因為我們不僅需要描述其位置信息，還要描述物體的姿態(tài)。為此，定義了可以確定飛機(jī)在空間中的位置和姿態(tài)的機(jī)體坐標(biāo)系。定義的兩個坐標(biāo)系如圖2.4所示。

（1）地面坐標(biāo)系

地面坐標(biāo)系可在通常是以大地坐標(biāo)系為參考，理論上可以任意建立.如圖2.4中的 。在本文中取其原點 為于四旋翼飛行器的起飛點處， 軸 軸相互垂直且平行于地面，定義 軸指向正北方向， 軸指向正西方， 軸垂直與地心指向天空， 與 ， 軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

（2）機(jī)體坐標(biāo)系

機(jī)體坐標(biāo)系如圖2.4中的 ，原點位于四旋翼飛行器的中心位置。在十字型四旋翼中， 與前后兩旋翼所在軸重合，指向飛行器的前進(jìn)方向， 與左右兩旋翼所在軸重合，定義所指向的方向為正方向 與 、 軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

.3 飛行器狀態(tài)參數(shù)簡介

在定義好上述兩個參照坐標(biāo)系后，可以引入描述飛行器姿態(tài)與位置的六個自由度。位置變量 ，其中x，y，z分別代表四旋翼飛行器的中心相對于地面坐標(biāo)系原點的位置偏移量在地面坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸上的分量；歐拉角 ，其中 ， ， 分別代表橫滾角、俯仰角、偏航角。[7]，用歐拉角法得到的旋轉(zhuǎn)公式為

（2.1）

偏航角 ：飛行器機(jī)體軸 在地面坐標(biāo)系 面上所形成投影線與 軸之間的夾角。

俯仰角 ：飛行器機(jī)體軸 與其在地面坐標(biāo)系 面上所形成投影線的夾角。

橫滾角 ：飛行器機(jī)體軸 與其在地面坐標(biāo)系 面上所形成投影線的夾角。

2.四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型

由于四旋翼飛行器整個系統(tǒng)比較復(fù)雜，在建模過程中存在很大的難度，我們對建模作出如下假設(shè)：

（1）實驗中的四旋翼飛行器是剛體結(jié)構(gòu)，且于中心對稱，質(zhì)量分布均勻，整機(jī)質(zhì)量為46KG

（2）飛行器的中心點與機(jī)體坐標(biāo)系的原點為重合關(guān)系

（3）飛行過程中，飛行器的重力是一定值，不會隨飛行器空間位置和姿態(tài)的不同而變化

（4）假設(shè)飛行條件比較理想

在選定的參考坐標(biāo)系下一般都利用牛頓歐拉方程對四旋翼無人機(jī)進(jìn)行整體的分析。在忽略機(jī)身彈性振動以及輕微形變的情況下，四旋翼飛行器的運動可以看作是六個自由度的剛體運動，包括飛行器機(jī)身繞著機(jī)體坐標(biāo)系的三個軸臂的轉(zhuǎn)動以及飛行器沿平行于三個軸臂方向上的線性平移運動。

2.1 四旋翼飛行器的受力及力矩分析

四旋翼飛行器的旋翼一般由兩到四片槳葉固定在中心槳毅上，并以兩兩間成正反槳的方式旋轉(zhuǎn)。電機(jī)帶動旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生垂直于機(jī)體平面向上的升力控制四旋翼飛行器飛行。旋翼的質(zhì)量好壞直接影響著升力的大小，升力的大小變化影響著飛行器的飛行性能。旋翼旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空氣動力以及阻力可以同分析剛體的動力學(xué)一樣用相關(guān)的動量理論結(jié)合葉素（BEM）理論來進(jìn)行分析。[8]

由旋翼和槳葉相關(guān)的氣動學(xué)理論可知，當(dāng)四旋翼的電機(jī)帶動旋翼轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生垂直與機(jī)身平面 的升力 ，同時帶來空氣阻力 ，側(cè)傾力矩 以及使機(jī)身旋轉(zhuǎn)繞 軸旋轉(zhuǎn)的扭矩力 。旋翼轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的著四種不同的效應(yīng)均可假設(shè)與電機(jī)旋翼的轉(zhuǎn)速成正比，由于阻力 以及側(cè)傾力矩 的系數(shù)通常情況下近似為0，因此可以忽略這兩種響應(yīng)，升力 和旋轉(zhuǎn)扭矩力 的表達(dá)式如下

其中， 為升力系數(shù)， 為扭矩系數(shù)， 為空氣的密度， 為旋翼的半徑， 是單面旋翼的表面積， 為旋翼的轉(zhuǎn)速。

將已知量代入（2.2）、（2.3）可得

其中 ， 代表比例系數(shù)。又因為飛行器四個旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生升力的總合力總是垂直與機(jī)身平面 平行于機(jī)身 軸，可以得到升力在地面坐標(biāo)系下的表達(dá)方程

假設(shè)四旋翼飛行器的四個電機(jī)到機(jī)身質(zhì)心的距離都為 ，則旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的升力作用在機(jī)身 軸 軸上的力矩分別為 和表示如下

飛行器四個旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的總力矩 為

2.2 四旋翼飛行器的重力

此外，因為四旋翼飛行器有著一定的重量，所以還應(yīng)考慮其在飛行中所受到的重力。因為重力總是豎直向下的，因此，重力在地面坐標(biāo)系下只在 軸向有分力影響，假設(shè)所用四旋翼飛行器的質(zhì)量為m，可得

2.3 四旋翼飛行器的運動學(xué)模型

由牛頓定律，四旋翼飛行器中心在進(jìn)行平移運動時的動力學(xué)矢量表達(dá)式為

上式中 為四旋翼飛行器的速度矢量，m為質(zhì)量， 為飛行器所受合外力的總和，可以得到四旋翼飛行器在地面坐標(biāo)系下的位置狀態(tài)方程為

將四旋翼飛行器在地面坐標(biāo)系下的位置狀態(tài)方程代入方程（2.11）與升力在地面坐標(biāo)系下的表達(dá)方程（2.6）可得得到四旋翼飛行器整體的位置運動模型如下

2.4 四旋翼飛行器的動力學(xué)模型

根據(jù)動量矩定理，四旋翼飛行器繞機(jī)身中心旋轉(zhuǎn)的動力學(xué)矢量方程為

其中， 代表四旋翼飛行器質(zhì)心的動量矩矢量，將其投影到機(jī)體坐標(biāo)系上可以得到飛行器繞質(zhì)心作旋轉(zhuǎn)運動時的矢量方程為

上式中， 表示飛行器的轉(zhuǎn)動慣性常量，因為前文己經(jīng)假設(shè)實驗中的四旋翼飛行器質(zhì)量均勻且結(jié)構(gòu)對稱，可得機(jī)體坐標(biāo)軸下的轉(zhuǎn)動慣量為

另外，在機(jī)體坐標(biāo)系下，根據(jù)動量矩有如下表達(dá)式

將（2.17）代入方程（2.18）并結(jié)合前文（2.9）可得

2.5 四旋翼飛行器的狀態(tài)空間表達(dá)式

通過牛頓一歐拉方程得到的動力學(xué)模型是非線性的，而需要設(shè)計的控制器是線性的，所以需要將非線性的模型線性化。在地面坐標(biāo)系中，將線速度分解到三個坐標(biāo)軸上，其方向與所在坐標(biāo)軸相同，數(shù)值大小為0，角速度的數(shù)值也為0。選取公式（2.20）作為四旋翼飛行器的輸入量：

聯(lián)立方程（2.13）與方程（2.19）可得線性化方程

通過上述條件和式可得，飛行器處于空中穩(wěn)定懸停狀態(tài)，計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值為 ， ，忽略飛行器的升力與反力矩之間的耦合關(guān)系。以 為輸入，構(gòu)建四旋翼飛行器的狀態(tài)矩陣，由此得到的狀態(tài)方程如式（2.22）所示

四旋翼飛行器的控制律

PID控制器設(shè)計

由四旋翼模型可以看出，其模型有四個輸入變量與六個輸出變量，屬于不完全控制，各變量之間相互之間存在耦合。

在設(shè)計控制率時，首先對模型進(jìn)行化簡。由于本文假設(shè)四旋翼是在小角度、低速度的情況下進(jìn)行飛行，因此可以忽略陀螺效應(yīng)對三軸角速度帶來的影響。[9]從而得到化簡后的模型。

觀察化簡后的四旋翼模型，可以發(fā)現(xiàn)其三個姿態(tài)角變量以及高度變量僅與四個輸入變量有關(guān)，而X，Y軸位置的控制則同時與輸入以及姿態(tài)角有關(guān)四旋翼飛行器的姿態(tài)與高度均完全可控。因此，將四旋翼模型拆分成兩個子控制系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)系統(tǒng)為姿態(tài)控制系統(tǒng)，外環(huán)系統(tǒng)為位置控制系統(tǒng)。

其中 代表比例環(huán)節(jié)增益， 積分環(huán)節(jié)時間常數(shù)， 微分環(huán)節(jié)時間常數(shù)。

比例環(huán)節(jié)可以對偏差信號對應(yīng)比例的放大，較大的比例環(huán)節(jié)增益可以提高系統(tǒng)的快速性，但過大的比例環(huán)節(jié)增益會使系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間過長，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；積分環(huán)節(jié)主要在調(diào)節(jié)的后期消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，保證實現(xiàn)系統(tǒng)的無靜差調(diào)節(jié)，只要系統(tǒng)當(dāng)中存在動態(tài)誤差，則積分環(huán)節(jié)就會動作，直到系統(tǒng)沒有誤差為止。積分環(huán)節(jié)的加入會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，動態(tài)響應(yīng)也會變得遲鈍。微分環(huán)節(jié)主要可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度，它可以根據(jù)偏差的變化率對偏差進(jìn)行預(yù)調(diào)節(jié)，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。不過，過大的微分環(huán)節(jié)會使系統(tǒng)的抗干擾能力大大降低。

參考文獻(xiàn)

[1] 許喆.四旋翼無人機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)田[D].南京理工大學(xué)，2017.

[2] 李玉紅. 三自由度四旋翼飛行器的控制方案研究[D].東北大學(xué)，2012.

[3] 張心馳. 四旋翼飛行器控制系統(tǒng)的研究[D].南昌大學(xué)，2018.

[4] 王根. 四旋翼飛行器的基于PID姿態(tài)控制算法的設(shè)計與實現(xiàn)[D].東南大學(xué)，2017.

[5] 黃溪流. 一種四旋翼無人直升機(jī)飛行控制器的設(shè)計[D].南京理工大學(xué)，2010.

[6] 徐誠，黃大慶，孔繁鏘.一種小型無人機(jī)無源目標(biāo)定位方法及精度分析[J].儀器儀表學(xué)報，2015，36（05）：1115-1122.

[7] 宋自立. 四旋翼飛行機(jī)器人增穩(wěn)控制方法研究[D].華北電力大學(xué)，2014.

[8] 段宏. 基于動量葉素理論的風(fēng)力機(jī)風(fēng)輪建模仿真[D].華北電力大學(xué)（北京），2016.

[9] 米培良.四旋翼飛行器控制與實現(xiàn)[D].大連.大連理工大學(xué).2015

作者簡介：姚興宇，1997.9，男，漢族，河南洛陽人，河南大學(xué)，國際教育學(xué)院 2016級本科生在讀，研究方向：測控技術(shù)與儀器。