自然策略生成測(cè)地線

郭海峰

摘 要：測(cè)地線是兩點(diǎn)間實(shí)際距離最短的路線，測(cè)地線在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛；近些年來，隨著國內(nèi)復(fù)合材料自動(dòng)鋪絲技術(shù)的不斷發(fā)展，測(cè)地線軌跡的生成變得至關(guān)重要，原因在于我們可以基于測(cè)地線軌跡設(shè)計(jì)出其它新定義的軌跡并在很大程度上保證軌跡質(zhì)量，能夠看到，國內(nèi)外的鋪絲軟件中軌跡設(shè)計(jì)模塊幾乎都包含了測(cè)地線生成算法。筆者這里提出一種測(cè)地線軌跡生成思路，并簡(jiǎn)單驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：測(cè)地線；兩點(diǎn)；生成；軌跡

1 引言

測(cè)地線軌跡是最基本的軌跡，其背后有深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律和物理意義，測(cè)地線方程蘊(yùn)含了大量微分幾何的內(nèi)容，解析式較抽象，但在文字描述中很直觀，即曲面上的兩點(diǎn)間最短路徑。目前的文獻(xiàn)中可看到生成測(cè)地線的方法以數(shù)值求解常微分方程和基于網(wǎng)格的測(cè)地線生成[1]為主。兩種方法需要的輸入條件都有軌跡起始點(diǎn)的坐標(biāo)和軌跡起始點(diǎn)的方向，通過顯式或隱式迭代來控制軌跡滿足約束方程，按順序求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)依次用直線連接形成測(cè)地線軌跡或是用所有點(diǎn)插值的B樣條曲線垂直投影于曲面形成測(cè)地線。筆者認(rèn)為兩種方法都是目前最實(shí)用高效的方法，尤其是基于網(wǎng)格曲面的測(cè)地線生成法，其思路簡(jiǎn)明，可行性高。生成測(cè)地線的另一種思路是已知兩點(diǎn)從而求解兩點(diǎn)間的最短軌跡；該思路相比已知初始點(diǎn)和初始點(diǎn)方向求解的思路，能滿足兩端點(diǎn)的位置邊界條件，理論上能做到測(cè)地線的精確度更高；相關(guān)文獻(xiàn)中給出兩點(diǎn)間測(cè)地線算法基本都可以歸于局部搜索法，每一步迭代以減小距離為目的直到收斂到最小值。筆者提出的兩點(diǎn)間測(cè)地線生成思路來源于約束在曲面上的曲線兩端受力分析，即在曲面上設(shè)置A、B兩點(diǎn)，約束繩只能在曲面上移動(dòng)；將繩穿過A、B點(diǎn)，繩一端固定于B點(diǎn)，在A點(diǎn)拉繩，繩在A、B兩點(diǎn)間的軌跡收斂為測(cè)地線軌跡，模型如圖1所示。筆者稱這樣的過程為自然策略，在接下來章節(jié)我們將對(duì)該思路進(jìn)行簡(jiǎn)單分析和平面驗(yàn)證。

2 自然策略分析

2.1 微小單元基礎(chǔ)

從最簡(jiǎn)單的模型分析開始，取一平面和一段曲線，曲線以兩段直線代替，設(shè)直線在平面內(nèi)為剛體，如圖2所示；其中線在C點(diǎn)固定，B為線上的一點(diǎn)，線從A端受力被拉出，直到拉不動(dòng)為止。

假設(shè)每次從A拉出的長(zhǎng)度為ds，則有A、B、C滿足下面幾何關(guān)系，其中 代表點(diǎn)的位置向量，i代表第i次運(yùn)算。

對(duì)于曲面單元來說，幾何方程沒變化；力平衡方程根據(jù)曲面特征而變化，主要多引入了曲面的法向量信息。

2.2曲線分析

自然策略即是給出任意一條經(jīng)過兩端點(diǎn)的曲線，將曲面曲線離散，用數(shù)學(xué)方法模擬曲線自然收斂成測(cè)地線的過程，它需要用的條件包括曲線的切矢、主法向量以及曲面的法向量。初始曲線的好壞影響收斂效率，一般情況建議用空間中過兩點(diǎn)的直線在曲面上的垂直投影曲線作為初始曲線。由微分幾何的知識(shí)我們知道測(cè)地線每一點(diǎn)處的主法線方向都是曲面在該點(diǎn)的法線方向，即 ，此時(shí)曲線所有離散點(diǎn)都滿足幾何方程和力平衡方程。

這里以空間直線生成的初始曲線為例進(jìn)行計(jì)算過程說明，見圖4。首先對(duì)空間直線進(jìn)行等距離散，過每個(gè)離散端點(diǎn)做該空間直線的法平面，每個(gè)法平面都與曲面有交線；假設(shè)離散了n個(gè)點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)有n個(gè)法平面和n條交線（交線記為 ，圖中綠色的虛線），直線投影在曲面上的曲線（圖中為紅色的曲線）記為 ， 與 的交點(diǎn)記為控制點(diǎn) ， 作為變量可在相對(duì)應(yīng)的 上運(yùn)動(dòng)；每一次迭代計(jì)算完畢，生成新的n個(gè)控制點(diǎn) ，依次直線連接控制點(diǎn)以生成新的 。重復(fù)上述過程使 不斷收斂成測(cè)地線。

這里，筆者給出了初步調(diào)整控制點(diǎn)的方法，以計(jì)算 ，控制點(diǎn)滿足下面方程：

其中 表示第i個(gè)控制點(diǎn)的位置矢量，k為常數(shù)， 是曲面在第i個(gè)控制點(diǎn)的外法向量或內(nèi)法向量（需統(tǒng)一方向）。由于 在 上有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向，為了保證運(yùn)動(dòng)方向的正確性，筆者給出初步判斷 運(yùn)動(dòng)方向的條件：

至此，完成了自然策略生成曲面上兩點(diǎn)間測(cè)地線的生成方法；前文中由筆者給出的初步方程和判斷條件以及最終收斂條件均是可優(yōu)化的。

2.3平面算例

筆者基于matlab編寫程序做了平面算例，初步驗(yàn)證自然策略方法的可行性。平面的法向量處處相等，控制方程 中不用每次都計(jì)算 ，以平面法向量 代替 ；控制點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向條件由 簡(jiǎn)化為 。

其中兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（50，0），P1、P2分別為橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。控制點(diǎn)設(shè)置為49個(gè)，縱坐標(biāo)取值區(qū)間為 ，取值概率均勻分布，迭代次數(shù)為2000；經(jīng)自然策略方法計(jì)算后結(jié)果如下，曲線由矩陣形式的三次B樣條曲線[2]對(duì)控制點(diǎn)插值得到：

經(jīng)過計(jì)算后生成的測(cè)地線與實(shí)際測(cè)地線的最大偏差為0.0387，與初始曲線的對(duì)比如下：

可以從圖上看出，藍(lán)色的曲線（初始曲線）經(jīng)計(jì)算后收斂成紅色的曲線；實(shí)際計(jì)算結(jié)果顯示經(jīng)迭代后的曲線隨控制點(diǎn)設(shè)置數(shù)量和迭代次數(shù)的增加而更精確地逼近理論測(cè)地線。

總結(jié)

自然策略生成測(cè)地線的方法思路來源于簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系和力學(xué)關(guān)系，利用了曲面和曲線的自身性質(zhì)特點(diǎn)；本文初步模擬了曲線一端固定，一端過定點(diǎn)受拉的幾何收斂過程，并由此生成測(cè)地線，經(jīng)過平面算例驗(yàn)證該思路是可行的。筆者在文中給出的控制點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向判斷方程以及控制點(diǎn)步長(zhǎng)均可根據(jù)自己需要進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化；該算例中控制點(diǎn)的變化是依次進(jìn)行的，實(shí)際上可在運(yùn)算控制點(diǎn)的步驟中加入力平衡方程的決策條件，這樣即可實(shí)現(xiàn)控制點(diǎn)的聯(lián)動(dòng)，大大加快收斂效率。自動(dòng)鋪絲技術(shù)中的軌跡規(guī)劃階段常常需要利用測(cè)地線，目前生成測(cè)地線的方法基本都是通過設(shè)置初始點(diǎn)和初始方向從而依次計(jì)算軌跡的過程，通過兩點(diǎn)生成測(cè)地線的方法無疑能夠完善自動(dòng)鋪絲的軌跡規(guī)劃設(shè)計(jì)；自然策略方法為兩點(diǎn)間測(cè)點(diǎn)線的生成提供了新的思路，對(duì)自動(dòng)鋪絲軌跡設(shè)計(jì)的研究有一定參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 熊文磊.基于網(wǎng)格化曲面的自動(dòng)鋪絲軌跡規(guī)劃研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2012.

[2] 符祥.三次均勻B樣條插值曲線和曲面的矩陣形式[J].光電子·激光，2007，18（8）：992-995.