變換讓數學概念更厚重

范琰

在近階段的畢業復習中，學生對以往數學知識的遺忘程度真的讓人感到難以置信，特別是量與計量的換算，簡直是一塌糊涂，百思不得其解。聽了特級教師周衛東的《分數的意義》一課后，筆者恍然大悟。學生在學習新概念時，尤其是核心概念的學習，如果沒有豐富的典型素材，也沒有不斷地變換教學方式，只是一味簡單地重復概念，那只是一種低等級水平的技能上高頻熟練而已，并沒有真正地觸動學生的生活經驗，思維也沒有得到很好的發展，當然學生遺忘得也快。周衛東在《分數的意義》中的幾個巧妙的變換，讓單薄的概念變得如此的厚重，值得琢磨。現擷取幾個精彩片斷，與大家一起賞析。

變換素材，多維度詮釋概念

數學中的概念似乎都與“抽象”掛鉤，而我們往往沒有站在孩子的角度，習慣用成人的眼光看數學問題，認為這些概念很簡單不必“糾纏”豐富的素材，往往為了趕時間而急于得出概念，然后讓學生進行識記并應用，這樣的教學，學生經歷知識的形成過程肯定不夠深刻。名師的課堂會讓我們窺見一斑，原來數學概念也可以上得如此的形象生動。在揭示核心概念的時候，他們舍得花時間，通過數形結合，不斷地變換素材，把一個概念從多個維度詮釋得淋漓盡致，讓學生感到不是在重復著同一內容的操練，而是每道題目都有新意，都有不同的味道，但始終都是理解同一個概念。

【片段一】 ?的素材變換，感知分數的意義

下面各圖中的涂色部分，哪些能用

表示？

（1） ? ? ?（2）

（3） ? ? ? ? ? ?（4）

生1：（1）（2）（3）涂色部分可以用 ?表示。

生2：第（4）幅圖表示把5個△平均分成5份，涂了其中的3份，用 ?來表示。

課件隱去一幅，剩（1）（2）（3）。

師：（1）（2）（3）為什么都能用 表示呢？這三幅圖有哪些相同的地方？

生：因為把一個圓平均分成4份，涂色了3份。把一條1米長的線段平均分成4份，涂色了3份。把8個圓平均分成4份，涂色了3份。所以都可以用 ?表示。

師：剛才大家分別說了三幅圖的意思，能不能概括地說一下。

生：這三幅圖都平均分成4份，把其中的三份涂起來。

師：都是把一個整體平均分成4份，表示這樣的3份。這三幅圖哪兒不一樣？

生：其中一份的數不一樣。

師：你能明白他的意思嗎？

生：分的總量不一樣。

師：（針對1號月餅圖）一個蘋果可以嗎？一個月餅、一個蘋果等都稱為1個物體。

師：（針對2號1米圖）把1米平均分成4份，還可以是1厘米、1分米，1天可以嗎？1小時可以嗎？1噸呢？也就是說把一個計量單位平均分成4份，表示這樣的3份。

師：（針對3號圓形圖）把8個圓形平均分成4份，這8個圓形還可以是什么？（生答略）也就是一些物體。

師：一個物體、一個計量單位、一些物體，給這三個取一個共同的名字，叫做單位“1”，寫得時候這樣寫“1”，讀的時候讀作單位“1”。

師：究竟什么是 ?呢？

生：把單位“1”平均分成4份，表示這樣的3份。

區區一個 ，不僅用了以上五幅不同的圖形，還從一號圖的月餅聯想到一個蘋果，一個月餅、一個蘋果等都稱為1個物體。由（2）號圖的1米聯想到1厘米、1分米，1天、1小時、1噸，從而概括成把一個“計量單位”平均分成4份，表示這樣的3份。從（3）號圖由8個圓形聯想到一些物體。從“一個”聯想到“一類”，豐厚的素材從不同的維度足以讓學生深刻理解 的意義，有種“似曾相似，卻又不同”的感覺。

變換提問方式，打破思維定勢

在上“分數的意義”時，我們都知道理解單位“1”是重中之重，但糟糕的是都掉入單位“1”中無法自拔，模式化的一句話“把誰看作單位1，平均分成幾份，表示這樣的幾份”貫穿課的始終，甚至用于整個單元。這純是一種形式化的敘述，而學生并沒有真正地感悟單位“1”的意義。實踐表明，只有不斷地變換提問的方式，放眼于整個單元的內容（求一個數是另一個數的幾分之幾、求一個數的幾分之幾是多少，已知一個數的幾分之幾是多少求這個數），多角度地打破平時一貫的敘述方式，才能真正靈活地理解單位“1”的本質含義。

【片段二】感悟單位“1”的提問變換，理解分數的意義

師：分數中只有 嗎？這兒有兩個分數： ， 各表示什么意思？

生1： 把單位“1”平均分成6份，表示這樣的1份。

生2： 把單位“1”平均分成3份，表示這樣的2份。

師：這兒有四種不同的單位“1”，如果研究 ?，你選哪些作為單位“1”？

出示：選擇合適的單位“1”，表示下列各分數： ，

（1）

（2）

（3）

師：干嗎不選第（1）個？

生：7÷6，7÷3除不盡。

師：男女各選一個分數，把這個分數畫出來。

生1：把鐘面上12個刻度平均分成3份，涂這樣的2份。

生2：把12個圓形平均分成3份，涂這樣的2份。

生3：把這條線段平均分成3份，每份是這樣的 ?，2份是這樣的 ?。

生4：把圓形平均分成6份，涂這樣的1份。

師：比較（2）（3），有什么不同？

小結：橫著看，表示的分數一樣，不同的單位“1”可以表示同一個分數。

豎著看，同樣的單位“1”，可以表示不同的分數。揭示分數的意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數，叫做分數。

變換之一：讓學生自主選擇單位“1”的量。“這兒有四種不同的單位“1”，如果研究 ?，你選哪些作為單位‘1’？”尤其用了反證材料7個三角形，7都不是6和3的倍數，突出“平均分”的重要性，進一步理解分母的意義。我們一般都是讓學生舉例生活中還可以把哪些物體當作單位“1”，相比之下，此處的目標更為明確，更有思考的價值。因為分數教學的核心之一理解單位“1”，但并不是所有的單位“1”都能直接表示出 ?， ?。

變換之二：這二題圖的橫向與縱向的比較，橫著看，不同的單位“1”可以表示同一個分數;豎著看，同樣的單位“1”，可以表示不同的分數。此處可謂“轉軸撥弦三兩聲，未成曲調先有情”，突出分數與平均分成的份數有著舉足輕重的作用，突破教學的重難點，即分母表示分成的份數。不同的單位“1”，只要平均分成6份，表示這樣的1份就可以用 表示，與材料的顏色、形狀、大小、多少都無關。盡管單位“1”相同， ?但分成的份數不同，涂色的份數也不同，就可以表示不同的分數，突出分數的分母與分成的份數有關，分子與涂色的份數有關。

變換比較標準理解相對性

名師的課堂，看似如出一轍，卻大相徑庭。因為他們的教學總是蘊藏著深刻的數學思想方法，他們的教學總是“一脈相承”，把前后知識的來龍去脈搞得一清二楚。“分數的意義”的教學可以看作是學生數感發展的一個分水嶺，從認識表示數量與順序絕對數值到認識表示相對數值的分數，這是一次“數的認識”質的飛躍。相對于自然數而言，分數的意義更廣泛，所代表的范圍更大，更具有相對性。周老師在原有的知識體系上不斷地完善數的體系，完成數系的擴展。他把分數的教學置于整個“數系”中去，把分數與整數聯系起來，通過數形結合讓學生從數整數開始，復習自然數單位，引出分數單位，那么數出分數便水到渠成，并且把分數的“相對性”解釋得清清楚楚，這是課堂中所欠缺的。

【片段三】分數的相對性

師：華羅庚爺爺講過這樣一句話：數，起源于數。剛一年級，我們會數1、2、3、4

○○○○ ? ?4，表示4個一

○○ ? ? ? ?2，表示2個一

○ ? ? ? ? ?1，

每次數1個，所以1是自然數單位。

師： 你數了嗎？

， ， ，3個 ，每一次數 ， 的計數單位就是 。

師：把4個圓圈看做單位“1”，那么2個圓圈怎么表示？1個圓圈呢？

○○○○ ? ? ? ?“1”

○○

○

師：把2個圓圈看做單位“1”，那么4個圓圈怎么表示？1個圓圈呢？

○○○○ ? ? ? ? ?2

○○ ? ? ? ? ? ?“1”

○

師：同樣是4個圓，一會是2，一會是1，一會是4，跟誰有關系？

此處最大的亮點是通過反復變換比較的標準，把分數置于整個“數系”中去理解分數的相對性，實現分數與自然數之間的巧妙聯系。分數的相對性表現在，同一物體個數因相對的單位“1”不同而用不同的分數來表示，同一個分數因單位“1”的不同使得它所代表的數量大小也不同。周老師做得順理成章，筆者明白，原來這節課還可以這樣上的，同時深深感到自己對分數認識的淺薄。

其實，在這節課中滲透“相對性”對以后的教學也是很有幫助的。我們都知道，在分數、百分數、比的應用中理解關系句是尤為重要的，把誰看作一個標準，與它比較的另一個量隨著這個標準的變化而變化。如女生人數比男生多25%，若把男生看成100份，則女生125份;若把男生看成4份，則女生5份;若把男生看成1份，則女生（1+25%）份等。這樣的“相對性”教學，讓學生學會從多個角度思考問題，避免了解題的盲目性，有利于培養求異思維和求同思維，讓學生感悟到數出分數是有條件的，也就是說比較的標準量大小變了，比較的對應量也隨著變化，突出數的“相對性”。同時在數的過程中，讓學生不知不覺地理解了分數單位所表示的含義。

結束語

變換讓概念披上多姿的外衣，同時又詮釋了知識的內涵，給學生常換常新的感覺。因此，在教學中我們應該對新概念的知識“生長點”與以后的“落腳點”要有一個全面、系統的認識，善于不斷地變換素材、變換提問和練習的方式，讓概念不再單薄，變得厚重起來。讓學生更加輕松地學習概念，更加深刻地理解概念的本質，更加靈活地運用概念。

（作者單位：浙江省玉環市楚門中心小學）