一道立幾高考試題的解法研究

李高磊

摘 要：歷年高考中，立體幾何及其相關的證明問題都是數學科目的重點中的重點，除證明面與線，線與線，面與面的平行和垂直之外，二面角角度的求法也是歷年來高考數學立體幾何大題的“標配”。很多學生在證明面線、面面和線線的平行與垂直方面掌握得較為完備，但是卻在求二面角的問題上栽了跟頭，因此，筆者認為應該著重研究如何求立體幾何證明大題中的二面角問題，以保證學生們能夠在立體幾何的高考題目上拿到滿分。

關鍵詞：立體幾何；高考題目；解法研究

題目：如下圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1和A1D的中點。

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

思考與解答過程：對于第一小題來說，最為關鍵的是要能夠尋找或者說是構建出一個能夠經過MN且和平面C1DE相交的平面，而該平面ADM則為所求。

其解題過程如下：

將B1C連接，將ME連接。

由于M、E分別是BB1和BC的中點，因此ME∥B1C，且ME=1/2B1C。

又由于N是A1D的中點，因此可得ND=1/2A1D，由題目所給條件可以知道A1B1∥DC且A1B1=DC，那么就可以推出B1C∥A1D且B1C=A1D，最后可得出ME∥ND且ME=ND，符合平行四邊形條件，所以四邊形MNDE是平行四邊形，MN∥ED。而又因為MN不在平面EDC1之內，故可得出結果：MN∥平面C1DE。

通過尋找或者構造出屬于它們的交線，該交線必須滿足如下條件：

必須經過D點，通過延長A1M來交AB的延長線于點F，這樣便可以證明出D、E、F三點共線。

通過證明MN和該交線相互平行，能夠證明出B、M分別是AF與A1F的中點，因此，MN∥DF。此為第一小題的解題方法。

對于第二小題，同樣是要通過尋找（或是構造出）一個和二面角中的某個半平面相互垂直的平面，而符合這個條件的平面只有平面ABCD與平面ABB1A1，也就是平面ABCD⊥平面ABB1A1。而平面ABCD的角度則為其所求。

此外，還需要在所發現的兩個互相垂直的面之內通過另一個平面上面的點來作出AF（此為垂交線）的垂線，接著要過D點去做AF的垂線來交線段AB于點G。

這里需要注意的是，你所做的點絕對不可以是平面棱角上面的點。例如有一部分學生可能會選擇D點作為經過的點，但是D點并不在棱A1F上，因此不可選擇[1]。

其次，如果點D沒有現成的，那么就要作輔助線來選擇新的可供垂線所經過的相交點。

在注意上面這兩點之后，經過垂足來作出二面角棱的垂線，然后再過G點來作出A1F的垂線，并將其交A1F與點H。

將它們相連接起來，然后計算二面角的正弦值。計算過程是：

GH=3/4AM=3/4√AB2+BM2=3/4√22+22=3√2/2

DG=√3AG=√3

DH=√DG2+GH2=√（√32）+（3√2/2）2=

√15/2

Sin∠DHG=DG/DH=√3·√2/15=（√10）/5

第二小題迎刃而解。

或者也可以使用空間坐標系和空間向量工具來進行解答，過程為：

在得知DE⊥DA的情況下，將D點作為空間直角坐標系原點，向量DA的方向是X軸的正方向，接著可建立相應的空間直角坐標系D-xyz，則此時A坐標為（2，0，0），A1坐標為（2，0，4）M坐標為（1，√3，2），N坐標為（1，0，2），向量A1A為（0，0，-4），向量A1M為（-1，√3，-2），向量A1N為（-1，0，-2），向量MN為（0，-√3，0）。

接著，可設向量m為（x，y，z）作為平面A1MA的法向量，此時， 因此可得：

-x+√3y-2z=0，-4z=0，此時可得=（√3，1，0）。

設向量n為（p，q，r）作為平面A1MN的法向量，則此時

因此可得：

-√3q=0，-p-2r=0，此時可得=（2，0，-1）。

通過求兩個空間向量夾角的余弦值的公式可得：

=2√3/2*√5=√15/5

所以可得二面角A-MA1-N的正弦值是√10/5。

這就是通過兩種不同的方法來解答該大題第二小題的過程，很明顯，使用空間坐標系和空間向量這兩種數學工具要比從空間幾何邏輯關系中進行探索要簡單的多。

對于本空間幾何題目的反思：

從總體來看，該空間幾何解答題依然是在考察學生的確定性思維，尤其是在求二面角正弦值的過程中，這種考察學生確定性思維的意圖愈發明顯。學生是否能夠通過已經獲得的條件來解答出本道題目？這是開啟本題正確答案大門的鑰匙。

通常，對涉及到幾何證明和二面角等空間幾何大題的組合，一般是采用分步驟進行確定的“尋找垂直面”、“作出垂直線”、“相連再證明（計算）”這三大步驟。對于前兩個步驟來說，它們的目的是為了能夠有效尋找到一個在半平面上的合適的點。該店能夠在另一個半平面上面作出投影點，這也是求出二面角的關鍵過程。但是，在第二小題的兩種解法中，筆者更加傾向于構建空間直角坐標系并運用空間向量來進行解答，因為向量具有更多更加直觀的公式，這些公式將空間中的點與線進行代數化，尤其是將線化為更加直觀的數對，這讓學生從較難的空間想象過程中得到解放，回歸到較為直觀簡單的代數關系部分，只要用對公式，就能夠更快地算出相應結果[2]。也正是因為如此，筆者才在進行有關類似的立體結合問題的講解中推崇學生們掌握向量法。因為向量法是數形結合方面的一大突破。誠然，有部分教師認為幾何法的掌握能夠更好地推動學生的解題速度，但是在向量這一更加直觀的工具面前，幾何法還是要耗費更多的空間思考能力。

參考文獻：

[1]孫鋆. 一道立體幾何試題的解法探究與拓展[J]. 中學數學月刊， 2017，56（4）：63-64.

[2]王榮峰. 對一道高考題的多方位探究[J]. 中學生理科應試， 2017，23（11）：4-4.