利用等效法求解豎直平面內的圓周運動分析

柏東寬

摘 要：文章主要闡述高中物理教學中最常用的等效法在豎直平面內的圓周運動中的運用，從基本模型的介紹到模型的深入應用，深入淺出的介紹這種方法在高中物理教學中的應用。

關鍵詞：等效法；圓周運動；豎直平面

等效法在高中物理學科解決問題中最重要的一種科學思維方法之一，等效方法的實質是相互替代的效果相同，等效方法的結果，可以使復雜問題變成簡單問題，使感性認識上升到理性認識。在中學物理中合力和分力，合運動和分運動，平均速度，重心，交流電的平均值物理概念均是根據等效方法引入的。本文就質點在豎直平面上的圓形軌道上做圓周運動，利用等效法的思想從基本模型和擴展方面做出一些分析研究。

一、基本模型

物體在圓形軌道中繞中心點作變速圓周運動，由于軌道只能提供彈力，質點在最高點所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力，在最低點受重力和彈力，合力提供向心力，所以在最高點：（1）質點過最高點的臨界條件：質點達最高點時軌道對物體的彈力剛好為零，質點在最高點的向心力全部由物體的重力來提供，這時有FN+mg=mv2/R，當FN=0時v最小，是小球通過最高點的最小速度叫臨界速度；（2）質點能通過最高點的條件是 。在最低點：（1）質點在最低點合力提供向心力FN-mg=mv2/R；（2）質點能通過最高點的條件是v≥0。（3）要做完整的圓周運動mg·2R=mv2/2-mvmin2/2，則過最低點的速度 。

二、帶點粒子在電場中的運動

例一、（2013年全國二卷）如圖，勻強電場中有一半徑為r的光滑絕緣圓軌道，軌道平面與電場方向平行。a、b為軌道直徑的兩端，該直徑與電場方向平行。一電荷量為q（q> 0）的質點沿軌道內側運動，經過a點和b點時對軌道壓力的大小分別為Na和Nb。不計重力，求電場強度的大小E、質點經過a點和b點時的動能。

分析：帶電粒子在電場中可以等效為在重力場中，本題把電場力等效為重力，在順時針旋轉90度，就完全可以參照基本模型來處理。

a點即為等效最高點，由基本模型Na+mg=mva2/R

b點即為等效最低點，由基本模型Nb-mg=mvb2/R

a到b，由動能定理qE·2R=mvb2/2-mva2/2

本題利用等效法來處理可以快速的解決問題，只要把模型理解透徹會很快的處理完成，由于本文只是針對知識進行講解，后續解答就不詳細贅述，

三、帶電粒子在重力場和電場中的運動

例二、如圖所示，在豎直平面內固定的圓形絕緣軌道的圓心為O、半徑為R、內壁光滑.該區間存在方向水平向右的勻強電場，一質量為m、帶電的小球恰好能在軌道內側做完整的圓周運動，經過P點時速度最大，O、P連線與豎直方向的夾角θ=60°，重力加速度為g.求：

（1）小球所受到的靜電力的大小；

（2）小球對圓軌道的壓力最大值是多少？

分析：本題把電場和重力場等效為一個場，即把電場力和重力等效為一個力F，如右圖。P點速度最快，即P點即為等效最低點，由P點受的場力可以輕松算出靜電力F電=qE=mgtanθ，則等效力F=mg/cosθ

P點速度最快，即P點即為等效最低點，在等效最低點有：Np-F=mvp2/R

在圓上沿直徑方向上P點對稱的點為等效最高點，本題中有關鍵詞“恰好”，即在等效最高點就為等效力F提供向心力即：F=mvo2/R

在等效最高點和等效最低點之間用動能定理，即：F·2R=mvp2/2-mvo2/2

由等效思想我們知道，對圓軌道的最大支持力就是等效最低點的支持力，由牛頓第三定律知，最大壓力大小即為NP，綜合上述五個公式既可求出。

例三、（2018年全國卷三）如圖，在豎直平面內，一半徑為R的光滑圓弧軌道ABC和水平軌道PA在A點相切。BC為圓弧軌道的直徑。O為圓心，OA和OB之間的夾角為α，sinα=3/5，一質量為m的小球沿水平軌道向右運動，經A點沿圓弧軌道通過C點，落至水平軌道；在整個過程中，除受到重力及軌道作用力外，小球還一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零。重力加速度大小為g。求：

（1）水平恒力的大小和小球到達C點時速度的大小；

（2）小球到達A點時動量的大小；

（3）小球從C點落至水平軌道所用的時間。

分析：本題把可以利用例二的思想，把電場力換成水平恒力即可，即把水平恒力和重力等效為一個力F，如右圖，由題目所給的信息，“在C點所受合力的方向指向圓心，且此時小球對軌道的壓力恰好為零”，即C點為等效最高點，即水平恒力F1=mgtanθ，則等效力F=mg/cosθ，由此C點的速度也可以快速求出，即F=mvc2/R。

若本題要求求解B點的速度，那就直接用上面的規律就能解出，由于本文只是針對圓周運動進行講解，后續解答就不詳細贅述。

四、總結

等效法求解豎直平面內的圓周運動，最主要的就是找等效最高點和等效最低點，找到以后利用圓周運動知識進行求解，可以快速處理這類題型。

參考文獻

[1]閆俊仁.豎直平面內圓周運動的臨界問題歸納[J].高中數理化.2005（01）

[2]韓友慶. “等效替代法”在高中物理中的妙用.科學大眾·科學教育.2011（09）