黏彈性邊界的二次開發(fā)及其在地下結(jié)構(gòu)抗震分析中的應(yīng)用

竇遠(yuǎn)明 范俊超 王建寧 鞠培東 宋明軒 李景文

摘要 在對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時(shí)，土體邊界條件和地震波的施加方法直接關(guān)系到運(yùn)算結(jié)果的精準(zhǔn)程度。為了使地下結(jié)構(gòu)抗震分析建模更加高效，分析結(jié)果更加合理，對邊界和地震波的施加算法進(jìn)行了程序化設(shè)計(jì)，利用Python語言對ABAQUS進(jìn)行了二次開發(fā)，編寫了黏彈性邊界和地震波統(tǒng)一自動施加程序，建立了土體—隧洞結(jié)構(gòu)相互作用的三維有限元分析模型。結(jié)果表明：該方法可以實(shí)現(xiàn)黏彈性邊界和地震波的快速自動施加，能夠很好地模擬波動在土體中的傳播規(guī)律;在靠近土體邊界附近一定范圍內(nèi)的加速度峰值有3%左右的誤差，當(dāng)模型尺寸取9倍的結(jié)構(gòu)寬度時(shí)可以消除這一影響;隧洞結(jié)構(gòu)縱向端部2～3倍結(jié)構(gòu)寬度范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果偏大。

關(guān) 鍵 詞 地下結(jié)構(gòu);黏彈性邊界;二次開發(fā);有限元分析

中圖分類號 TU93? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Abstract In the seismic analysis of underground structure， the boundary conditions of soil and the seismic wave application methods are directly related to the accuracy of calculation results. In order to make the seismic analysis more effictive and more reasonable， the application algorithm of boundary and seismic waves was programmed and a secondary development of ABAQUS with Python was done. A finite element analysis model with 3D nonlinear soil-tunnel interaction was established by using the unified automatic impose program for viscoelastic boundary and seismic waves. The results show that this method can apply the viscoelastic boundary and the seismic waves automatically and can reflect the seismic law of foundation reasonably. There is a deviation in peak acceleration deviation （about 3%） near the model border and it can be eliminated when the FEM size is 9 times larger than the width of structure. The calculation results in the scope of 2D～3D （D represents the width of structure） width of the tunnel structure end are deviated to be larger.

Key words underground structure; viscoelastic boundary; secondary exploration; finite element analysis

0 引言

在對地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元動力分析的過程中，需要把半無限的土體轉(zhuǎn)換為有邊界的空間，而波動在傳播的過程中遇到邊界會產(chǎn)生反射，這與實(shí)際情況并不相符，所以在建立模型時(shí)必須對人工邊界進(jìn)行處理，使之符合實(shí)際情況[1-2]。當(dāng)前常用的人工邊界條件中，有透射邊界[3]、黏性邊界[4]、黏彈性邊界[5]等，其中透射邊界為位移型邊界，在多次透射的情況下精度較高，但是容易出現(xiàn)高頻震蕩[6]，且不容易在有限元軟件中實(shí)現(xiàn);黏性邊界為應(yīng)力型人工邊界，但是其僅考慮了對散射波能量的吸收，并沒有考慮到邊界處介質(zhì)的彈性恢復(fù)能力，因此容易導(dǎo)致低頻失穩(wěn)問題[7];而黏彈性邊界則克服了上述缺點(diǎn)，能夠很好地模擬地基的彈性恢復(fù)力和輻射阻尼效應(yīng)，具有較高的精度[8-9]。除此之外，杜修力等[10-11]結(jié)合黏彈性邊界條件，將地震作用的總波場進(jìn)行分解，提出通過荷載的方式在邊界處施加地震作用，取得了很好的效果。

雖然人工邊界設(shè)置和地震波施加的理論取得了很多成果，但是如何將這些方法應(yīng)用到實(shí)際的有限元分析中去依然是目前需要探討的問題[12]。其中孫奔博等[13]采用combine14單元通過耦合結(jié)點(diǎn)的方式在Anasys中實(shí)現(xiàn)了黏彈性邊界的施加，并對水工隧洞進(jìn)行了有限元分析;谷音等[2]、劉晶波等[14-15]開發(fā)了等效黏彈性邊界單元方法，用等效實(shí)體單元來替代彈簧—阻尼器原件，在有限元軟件中實(shí)現(xiàn)了黏彈性邊界的施加;章小龍等[6]利用Fortran軟件對ABAQUS進(jìn)行了二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了地震動等效荷載的施加。但是對通過Python語言編程實(shí)現(xiàn)黏彈性邊界和地震動等效荷載的統(tǒng)一施加的方法研究較少。

Python是一種面向?qū)ο蟆⒔忉屝浴討B(tài)數(shù)據(jù)類型的高級程序設(shè)計(jì)語言[16-17]，它的語法簡潔清晰，易于理解和開發(fā)。同時(shí)它還具有高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，提供了一種簡單但很有效的方式進(jìn)行面向?qū)ο蟮木幊蘙18]，這使其成為大多數(shù)平臺上應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的理想的腳本語言和開發(fā)環(huán)境，而ABAQUS軟件也為用戶預(yù)留了Python腳本的接口，以便于對軟件進(jìn)行二次開發(fā)，這為黏彈性邊界和地震動輸入問題的研究提供了新的思路。

本文主要對ABAQUS的Python接口進(jìn)行了二次開發(fā)，并編寫了Python程序，在保證模擬精度的前提下實(shí)現(xiàn)了黏彈性邊界和地震波的快速施加，大大提高了邊界施加的效率，并利用該方法對淺埋隧洞的地震動響應(yīng)進(jìn)行了分析，為進(jìn)一步研究地下工程的地震響應(yīng)提供了新的思路。

1 黏彈性邊界和地震波施加原理

1.1 黏彈性邊界

在利用有限的空間模擬半無限土體時(shí)，局部人工邊界條件的施加對于計(jì)算的準(zhǔn)確性有著很大的影響，許多學(xué)者也在這方面進(jìn)行了大量的研究，其中劉晶波等[12]研究的黏彈性人工邊界由于具有比較高的精度[8]和實(shí)用性，因而被廣泛應(yīng)用于土—結(jié)構(gòu)的有限元軟件計(jì)算中。其通過在離散的邊界網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上施加并聯(lián)的彈簧和阻尼器來實(shí)現(xiàn)從有限域到無限域的外行波吸收，在三維分析中該邊界的施加方式如圖1所示。其中彈簧的剛度和阻尼器的阻尼由下式計(jì)算：

式中：[K1]、[K2]分別為切向（X、Y方向）需要設(shè)置彈簧的剛度;[C1]、[C2]分別為切向（X、Y方向）需要設(shè)置阻尼器的阻尼;[K3]為法向（Z向）需要設(shè)置的彈簧的剛度;[C3]為法向（Z向）需要設(shè)置的阻尼器的阻尼值;ρ為介質(zhì)的密度;R為地下結(jié)構(gòu)中心到邊界點(diǎn)的距離;[Ai]為每一個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的附屬面積之和;[cs]、[cp]、G分別為土體介質(zhì)的剪切波速，壓縮波速和剪切模量。

1.2 黏彈性邊界下地震波的施加原理

地震波在入射到有限土體中以后，遇到結(jié)構(gòu)或者土體表面會發(fā)生散射，所以地震的總波場一般可以分解為自由波場和散射波場[19]。這其中的散射波場由人工邊界吸收，而入射波則可以通過作用于人工邊界上的等效荷載的方式施加上去。除此之外，還需要根據(jù)不同邊界面上的波場特點(diǎn)，采用不同的波場分解方案。在底部邊界面上可以將總場分解為邊界入射場和邊界外行場，而在側(cè)面邊界處可以將總波場分解為自由場和散射場[12]。其中邊界自由場和入射場可以根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型通過解析計(jì)算得到，而邊界的外行場或者散射場則可以利用邊界條件進(jìn)行模擬。其中將散射場或者邊界外行場作為未知量，并將其用總場與自由場或者入射場的差值表示，就可以得到含外源作用的人工邊界面上任一點(diǎn)l在i方向的有限元運(yùn)動方程[20]

式中：Kli、Cli為邊界面上l結(jié)點(diǎn)的法向和切向的參數(shù)，可由式（1）～（4）計(jì)算;fli為入射地震波作用下l結(jié)點(diǎn)在i方向的等效結(jié)點(diǎn)應(yīng)力，由式（6）表示

式中，[KliuRli、CliuRli、σRli]分別為克服彈簧、阻尼器和土體介質(zhì)所需要克服的抗力。

在模型的底面邊界垂直入射地震波，設(shè)P波和S波的位移時(shí)程為[up（t）]和[us（t）]，利用波動的傳播規(guī)律和波場的應(yīng)力狀態(tài)，通過式（6）解析計(jì)算邊界面上每個(gè)點(diǎn)的等效地震荷載[fli（t）]。由此即可以得到任一結(jié)點(diǎn)的計(jì)算式[20]。

2 ABAQUS-Python的二次開發(fā)

2.1 ABAQUS-Python的腳本接口

ABAQUS中的腳本接口能夠非常高效地實(shí)現(xiàn)ABAQUS/CAE中的所有功能，二者的通信關(guān)系如圖2所示。當(dāng)Python程序編寫好以后，所有的命令都需要通過Python的特定解釋器進(jìn)行翻譯之后才能夠進(jìn)入到ABAQUS/CAE的內(nèi)核中執(zhí)行，在執(zhí)行的過程中會生成記錄文件，即擴(kuò)展名為.rpy的文件。這些命令在進(jìn)入內(nèi)核中以后將會被轉(zhuǎn)化為INP文件，最后程序?qū)NP文件輸入到求解器中進(jìn)行求解。

2.2 二次開發(fā)主要算法

本次開發(fā)使用的主要軟件為Python IDLE，首先需要導(dǎo)入ABAQUS相關(guān)函數(shù)模塊，程序會自動讀取在ABAQUS中設(shè)置好的材料參數(shù)，如彈性模量、泊松比、密度等;通過下式可以求得介質(zhì)的縱向和剪切波速

式中：λ、μ為第一拉密常數(shù)和第二拉密常數(shù);G、ρ為介質(zhì)的剪切模量和密度。

將式（7）、（8）以代碼的形式編寫到Python程序中去。獲取邊界面上所有的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)，設(shè)成集合，并將總數(shù)記為h。通過式（1）～（4）分別計(jì)算該點(diǎn)需要施加的彈簧和阻尼元件的具體參數(shù)，利用reader函數(shù)將地震波的位移和速度函數(shù)分別以表格的形式讀入到程序中來，每次從集合中取出一個(gè)結(jié)點(diǎn)，并利用for...in語句遍歷表格中所有數(shù)據(jù)，以元組的形式表示出來。每次從邊界的集合中取出一個(gè)結(jié)點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)的相應(yīng)參數(shù)，然后利用attend函數(shù)，通過while語句創(chuàng)建列表函數(shù)u（t-Δti），并通過函數(shù)的運(yùn)算計(jì)算出該點(diǎn)對應(yīng)的荷載函數(shù)，接著判斷該點(diǎn)處于人工截面的具體位置，將隨時(shí)間變化的荷載利用Python命令施加到該結(jié)點(diǎn)上去，同時(shí)將該點(diǎn)需要施加的邊界條件，即彈簧和阻尼器施加上去，依次循環(huán)，直到每個(gè)節(jié)點(diǎn)都施加上相應(yīng)的荷載和邊界后，結(jié)束運(yùn)行。具體流程如圖3所示。

2.3 程序核心代碼

該程序的主要功能是在有限的土體介質(zhì)中施加地震波。只要給出土體介質(zhì)的彈性模量、密度、泊松比等基本參數(shù)以后，便可以實(shí)現(xiàn)黏彈性邊界和地震波的自動施加，程序部分核心代碼如表1所列。

將程序?qū)懞煤蟊４鏋?py格式的文件，當(dāng)建立好模型并劃分好網(wǎng)格以后，通過菜單欄的文件→運(yùn)行腳本→選擇相應(yīng)Python文件運(yùn)行即可。

3 程序驗(yàn)證

為了驗(yàn)證施加程序的有效性，在這里建立簡單模型進(jìn)行驗(yàn)證。在ABAQUS中建立長寬高均為50 m的立方土體，模型介質(zhì)參數(shù)如下：彈性模量E=92.1 MPa，泊松比為0.25，密度為1 880 kg/m3。在底部輸入加速度峰值為0.2g的天津波，地震波時(shí)長為19.19 s，計(jì)算時(shí)間取為22 s，取介質(zhì)自由表面中心點(diǎn)的位移和加速度作為參考，時(shí)間增量取為0.01 s。為保證精度，網(wǎng)格大小為1 m × 1 m，土體外側(cè)邊界共有12 500個(gè)結(jié)點(diǎn)，程序僅運(yùn)行80 s即將所有邊界條件和地震波元件施加完畢。模型計(jì)算結(jié)果如圖4、5所示。其中圖4為土體入射面處和土體表面中心點(diǎn)處的加速度曲線對比圖，圖5為二者的位移對比圖。

由波動的傳播原理可知，對于單一的彈性介質(zhì)而言，當(dāng)波動傳播到介質(zhì)自由表面時(shí)其位移和加速度為入射時(shí)的2倍[3]。從圖中可以看出，土體自由表面處的位移放大了兩倍，同時(shí)加速度峰值也變?yōu)?.4g，同樣被放大了兩倍，由此可見利用此種方式施加的地震波具有良好的精度和效率，可以應(yīng)用于地震波的施加和地下結(jié)構(gòu)抗震的分析。

4 地下淺埋隧洞的有限元分析

為了考察本次二次開發(fā)在地下結(jié)構(gòu)抗震中的效果，建立土體—隧洞結(jié)構(gòu)有限元模型，對地震動在土體中的傳播規(guī)律和土體—結(jié)構(gòu)的相互作用進(jìn)行研究。在這里選用某工程實(shí)地土層，具體參數(shù)如表2所列，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，場地卓越周期為1.24 s。為了研究邊界和地震波的施加效果，土體深度取為60 m，橫向?qū)挾热?0 m，縱向長度取為120 m，隧洞直徑9 m，埋深6 m（淺埋），具體模型如圖6所示。在模型底部輸入水平橫向地震動，加速度峰值分別為0.1g、0.2g、0.3g的天津波，其中0.1g天津波的加速度時(shí)程曲線和傅里葉譜如圖7所示。同時(shí)建立同等參數(shù)下的自由場模型，并在底部輸入水平橫向加速度為0.1g的天津波作為對比。

4.1 土體豎直方向上的加速度變化和頻譜特性分析

取0.1g天津波作用下自由場模型自由表面中心點(diǎn)的加速度，并繪出相應(yīng)的傅里葉譜如圖8所示。從圖中可以看出，相比于輸入時(shí)的地震波和傅氏譜（見圖7），地震波的加速度峰值由0.1g變?yōu)?.18g，波形變化不大，這說明地震時(shí)土體本身對地震波的加速度有放大作用;從傅氏譜中可以看出，地表處接收到的地震波的低頻成分增多，高頻成分減少，傅里葉幅值的峰值頻率由1.22 Hz變?yōu)?.81 Hz。這一數(shù)值正好與土體的基本頻率吻合（f=1/T=1/1.24≈0.8 Hz），這是由于土體本身的基本頻率比較小，放大了地震波中的低頻成分，同時(shí)過濾了其中的高頻成分。計(jì)算結(jié)果符合地震動在土體中的傳播規(guī)律[21]。

當(dāng)土體中有地下結(jié)構(gòu)存在時(shí)，地震波在土體中的傳播規(guī)律會發(fā)生改變，在這里選取0.1g天津波作用下的自由場模型和帶隧洞結(jié)構(gòu)模型，考察土體中心附近沿豎直方向的加速度放大系數(shù)變化，將土體自由表面處記為0 m，則基巖處為―60 m，每隔3 m取一個(gè)記錄點(diǎn)，曲線如圖9所示。

從圖中可以看出，帶隧洞土體和自由場土體的加速度放大系數(shù)基本一致，自底部至土體表面大致呈放大趨勢，但是由于不同土層的性質(zhì)有所不同，所以放大程度并不一致。其中在淺層0～15 m埋深范圍內(nèi)，由于隧洞結(jié)構(gòu)的存在使得圍巖中的加速度放大系數(shù)有所增加，同時(shí)也使得地表處的加速峰值變大。通過以上對比分析說明利用該方法施加的邊界條件和地震波合理，地下淺埋隧洞結(jié)構(gòu)的存在對圍巖的加速度變化有一定影響。

4.2 加速度在水平方向上的變化分析

為了分析邊界條件施加對模型的影響程度，考察0.1g天津波輸入情況下自由場和帶結(jié)構(gòu)時(shí)土體自由表面中心處沿水平橫向（共90 m）和水平縱向（共120 m）的加速度峰值變化趨勢，每隔6 m取一個(gè)記錄點(diǎn)，曲線如圖10和圖11所示。

對于土體表面水平橫向加速度峰值變化而言，從圖10中可以看出，在距離土體兩側(cè)邊界的20～30 m范圍內(nèi)加速度峰值波動比較大，可見在這一范圍內(nèi)模型會受到邊界效應(yīng)的影響。而在中心附近的30 m范圍內(nèi)加速度峰值比較平穩(wěn)，此時(shí)邊界效應(yīng)的影響減小。其中帶隧洞土體表面加速度最小值為0.208g，最大值為0.215g，僅比最小值增大3%;自由場表面加速度最小值為0.200g，最大值為0.206g，同樣僅比最小值增大3%，且數(shù)值波動出現(xiàn)的位置在距離土體邊界2D～3D（D為結(jié)構(gòu)直徑）范圍內(nèi);這一規(guī)律在水平縱向曲線（見圖11）中同樣體現(xiàn)出來，由此可以看出在靠近邊界附近加速度峰值有輕微波動，但是誤差較小，在可接受范圍之內(nèi)，在中間段則比較平穩(wěn)，效果較好。經(jīng)過多次試算結(jié)果表明，當(dāng)將模型尺寸取為9倍的結(jié)構(gòu)寬度時(shí)，可以消除兩側(cè)的誤差帶來的影響。

4.3 隧洞結(jié)構(gòu)在地震動下的響應(yīng)分析

隧洞結(jié)構(gòu)在地震動輸入時(shí)會產(chǎn)生變形甚至破壞，為了研究該種邊界條件下地下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，取0.1g～0.3g天津波作用下隧洞結(jié)構(gòu)縱向長度上頂部和底部的相對位移值和跨中的橫截面環(huán)向應(yīng)力值進(jìn)行分析。

0.2g天津波作用下隧洞縱向長度上頂部和底部的相對位移沿隧洞縱向的變化曲線如圖12所示，從圖中可以看出，隧洞兩端2D～3D（D為隧洞直徑）范圍內(nèi)的相對位移值較大，在中部趨于平穩(wěn)，這是由于隧洞結(jié)構(gòu)在人為被截?cái)嘁院髢啥说募s束減弱，使得位移變大，這與實(shí)際的情況并不相符，在離開端部一段距離后這種影響才逐漸減弱。所以在建模計(jì)算時(shí)需要將隧洞縱向端部長度尺寸額外延長2～3倍的結(jié)構(gòu)寬度，中間部分的穩(wěn)定值才可以認(rèn)為符合平截面假定。由于篇幅限制，本文僅給出0.1g～0.3g天津波作用下隧洞縱向跨中處的拱頂和拱底位移以及二者相對位移，如表3所列。從表中可以看出，隧洞的拱頂和拱底位移值稍大，但是相對位移比較小，這說明圓形淺埋隧洞在地震動作用下的地震響應(yīng)雖然比較大，但是整體性比較好，抗震性能可以保證[22]，計(jì)算結(jié)果符合已有研究規(guī)律[23]。

為了研究隧洞橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，分別取0.1g～0.3g天津波作用下隧洞跨中處橫斷面，將拱頂處記為0°，沿著順時(shí)針方向每30°取一個(gè)觀測點(diǎn)，即順時(shí)針方向分別為0°（拱頂）、30°、60°、90°（拱底）、……330°、360°（與0°重合），橫斷面上各觀測點(diǎn)沿順時(shí)針方向的應(yīng)力變化曲線如圖13所示。

從圖中可以看出，3種情況下隧洞的應(yīng)力最大值均出現(xiàn)在120°～150°之間和210°～240°之間，而拱頂（0°和360°）和拱底（180°）處的應(yīng)力值非常小，說明淺埋隧洞在V類圍巖下襯砌的頂部和底部的應(yīng)力值較小，斜下角處的應(yīng)力值較大，這與文獻(xiàn)[24]中的結(jié)論一致，分析結(jié)果合理，符合淺埋隧洞的地震響應(yīng)規(guī)律。

5 結(jié)語

本文對ABAQUS的Python腳本接口進(jìn)行了研究，成功開發(fā)出基于黏彈性邊界的地震波統(tǒng)一施加程序，并對其精度進(jìn)行了驗(yàn)證，最后對分層土體淺埋隧洞的動力響應(yīng)進(jìn)行了有限元分析，得到如下結(jié)論：

1）該方法可以實(shí)現(xiàn)黏彈性邊界和地震波的統(tǒng)一施加，大大提高建模效率，同時(shí)可以有效消除波動在人工界面上的反射，計(jì)算結(jié)果符合波動在土體中的傳播規(guī)律，可以應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)抗震分析中。

2）距離土體邊界附近一定距離內(nèi)的加速度峰值會出現(xiàn)波動，但是誤差范圍很小，當(dāng)將模型尺寸取為9倍的結(jié)構(gòu)寬度時(shí)，可以消除兩側(cè)的誤差帶來的影響。

3）隧洞結(jié)構(gòu)縱向端部2～3倍寬度度范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果偏大，需要通過額外增加相應(yīng)的隧洞縱向長度取值來解決這一問題。

4）該方法為地下結(jié)構(gòu)抗震分析提供了新的思路，也為進(jìn)一步研究地下結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)規(guī)律奠定了基礎(chǔ)。

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[責(zé)任編輯 楊 屹]