鴿巢問題

傅勇

鴿巢問題

教材第68、第69頁(yè)。

1. 在了解簡(jiǎn)單的“鴿巢問題”的基礎(chǔ)上，使學(xué)生會(huì)用此原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

2. 提高學(xué)生有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考和推理的能力。

3. 通過用“鴿巢問題”解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”。

難點(diǎn)：找出“鴿巢問題”解決的竅門進(jìn)行反復(fù)推理。

鉛筆、筆筒、書等。

師：任意的13位同學(xué)中，至少有幾位同學(xué)在同一個(gè)月過生日？任意的367位同學(xué)中，至少有幾位同學(xué)在同一天過生日？試一試。

師：想知道答案嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，你就能解決這個(gè)問題了。下面我們就來研究這類問題，我們先從簡(jiǎn)單的情況入手研究。

【設(shè)計(jì)意圖：緊緊扣住學(xué)生的好奇心，從學(xué)生喜歡的生日問題開始，激活認(rèn)知熱情。使學(xué)生積極投入到對(duì)問題的研究中。同時(shí)，滲透研究問題的方法和建模的數(shù)學(xué)思想】

1. 講授例1。

（1）認(rèn)識(shí)“抽屜原理”。（課件出示例題）

把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，那么總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2支鉛筆。

學(xué)生讀一讀上面的例題，想一想并說一說這個(gè)例題中說了一件怎樣的事。

教師指出：上面這個(gè)問題，同學(xué)們不難想出其中的道理，但要完全清楚地說明白，就需給出證明。

（2）學(xué)生分小組活動(dòng)進(jìn)行證明。

活動(dòng)要求：

①學(xué)生先獨(dú)立思考。

②把自己的想法和小組內(nèi)的同學(xué)交流。

③如果需要?jiǎng)邮植僮鳎止げ⑷婵紤]問題。（誰分鉛筆、誰當(dāng)筆筒即“抽屜”、誰記錄等）

④在全班交流匯報(bào)。

（3）匯報(bào)。

師：哪個(gè)小組愿意說說你們是怎樣證明的？

①列舉法證明。

學(xué)生證明后，教師提問：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，共有幾種不同的放法？

（共有4種不同的放法。在這里只考慮存在性問題，即把4支鉛筆不管放進(jìn)哪個(gè)筆筒，都視為同一種情況）

根據(jù)以上4種不同的放法，你能得出什么結(jié)論？（總有一個(gè)至少放進(jìn)2支鉛筆）

②數(shù)的分解法證明。

可以把4分解成三個(gè)數(shù)，共有四種情況：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結(jié)果的三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)是不小于2的。

③反證法（或假設(shè)法）證明。

讓學(xué)生試著說一說，教師適時(shí)指點(diǎn)：

假設(shè)先在每個(gè)筆筒里放1支鉛筆。那么，3個(gè)筆筒里就放了3支鉛筆。還剩下1支鉛筆，放進(jìn)任意一個(gè)筆筒里，那么這個(gè)筆筒里就有2支鉛筆。

（4）揭示規(guī)律。

請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考：

①把5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)筆筒中，那么總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)幾支鉛筆，為什么？

②如果把6支鉛筆放進(jìn)5個(gè)筆筒中，結(jié)果是否一樣呢？把7支鉛筆放進(jìn)6個(gè)筆筒中呢？把10支鉛筆放進(jìn)9個(gè)筆筒中呢？把100支鉛筆放進(jìn)99個(gè)筆筒中呢？

學(xué)生回答的同時(shí)教師板書：

數(shù)量（支） 筆筒數(shù)（個(gè)） ?結(jié)果

5 總有一個(gè)筆筒里

提問：觀察板書，你有什么發(fā)現(xiàn)？

③小組討論，引導(dǎo)學(xué)生得出一般性結(jié)論。

（只要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多1，總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2支鉛筆）

追問：如果要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多2，多3，多4呢？

學(xué)生根據(jù)具體情況思考并解決此類問題。

④教師小結(jié)。

上面我們所證明的數(shù)學(xué)原理就是最簡(jiǎn)單的“抽屜原理”，可以概括為：把m個(gè)物體任意放到m-1個(gè)抽屜里，那么總有一個(gè)抽屜中至少放進(jìn)了2個(gè)物體。

2.教學(xué)例2。

師：把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。為什么？自己想一想，再跟小組的同學(xué)交流。

學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行小組交流：教師巡視了解情況。

組織全班交流，學(xué)生可能會(huì)說：

我們可以動(dòng)手操作，選用列舉的方法：

通過操作，我們把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書。

·我們可以用數(shù)的分解法：把7分解成三個(gè)數(shù)，有（7，0，0），（6，1，0），（5，1，1），（4，1，2），（3，1，3），（3，2，2）這樣六種情況。在任何一種情況中，總有一個(gè)數(shù)不小于3。

師：同學(xué)們，通過上面兩種方法，我們知道了把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。但隨著書的本書增多，數(shù)據(jù)變大，如果有8本書會(huì)怎樣呢？10本呢？甚至更多呢？用列舉法、數(shù)的分解法會(huì)怎樣？（繁瑣）我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的一般方法呢？請(qǐng)同學(xué)們自己想一想。

學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考。

師：假設(shè)把書盡量的“平均分”給各個(gè)抽屜，看每個(gè)抽屜能分到多少本書，你們能用什么算式表示這一平均分的過程呢？

生：7÷3=2……1

師：有余數(shù)的除法算式說明了什么問題？

生：把7本書平均放進(jìn)3個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜放2本書，還剩1本：把剩下的1本不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放3本書。

師：如果有8本書會(huì)怎樣呢？

生：8÷3=2……2，可以知道把8本書平均放進(jìn)3個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜放2本書，還剩2本：把剩下的2本中的1本不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放3本書。

師：10本書呢？

生：10÷3=3……1，可知把10本書平均放進(jìn)3個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜放3本書，還剩1本：把剩下的1本不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放4本書。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生共同小結(jié)：要把a(bǔ)個(gè)物體放進(jìn)n個(gè)抽屜，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一個(gè)抽屜至少放（b+1）個(gè)物體。

【設(shè)計(jì)意圖：在滲透研究問題、探索規(guī)律時(shí)，先從簡(jiǎn)單的情況開始研究。證明過程中，展示了不同學(xué)生的證明方法和思維水平，使學(xué)生既互相學(xué)習(xí)、觸類旁通，又建立“建模”思想，突出了學(xué)習(xí)方法】

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：物體數(shù)除以抽屜數(shù)，那么總會(huì)有一個(gè)抽屜里放進(jìn)比商多1的物體個(gè)數(shù)。

師：你能在生活中找出這樣的例子嗎？

學(xué)生舉例說明。

師：之所以把這個(gè)規(guī)律稱之為“原理”，是因?yàn)樵谖覀兊纳钪写嬖谥S多能用這個(gè)原理解決的問題，研究出這個(gè)規(guī)律是非常有價(jià)值的。同學(xué)們繼續(xù)努力吧！

【設(shè)計(jì)意圖：研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去。在教學(xué)的最后，請(qǐng)學(xué)生總結(jié)這節(jié)課學(xué)會(huì)的規(guī)律，再讓學(xué)生舉一些能用“鴿巢問題”解釋的生活現(xiàn)象，以達(dá)到鞏固應(yīng)用的目的】