正視學生經驗的負遷移，在錯誤處“正”生長

薛彩霞 蔣愛武

【摘要】正、反比例知識的學習有助于促進學生數學思維方式的轉變，使其經歷重要的轉折點：從“靜態”到“動態”，從“離散”到“連續”，在“操作”中厘清“關系”。在正比例圖像教學中，教師應注重引導學生體驗正比例圖像的形成過程，感受量的對應性和連續性，體會量的運動和變化。

【關鍵詞】正比例關系 正比例圖像 負遷移 “正”生長

小學正、反比例知識的學習意味著學生由“算術知識”向“代數知識”的轉變，這是學生從理解“數量”到探索“關系”的明顯轉折點（五年級的“用字母表示數”和“方程”也是一個重要的轉折點）。正、反比例知識的學習有助于促進學生數學思維方式的轉變，使其經歷重要的轉折點：從“靜態”到“運動”，從“離散”到“連續”，從“操作”到“關系”。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對小學“正比例圖像”學習的要求是：“根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖，并根據其中一個量的值估計另一個量的值。”在蘇教版小學數學教材中，學生首先學習“正比例意義”的相關知識，在此基礎上再學習“正比例圖像”。具體如下：教材首先根據例題1表中的數據，在方格圖上描出了各組數據所對應的點，引導學生聯系現實問題的背景理解描出的點所表示的意義，再連接圖中各點，看能發現什么，進而初步認識正比例圖像的特點。在繪制圖像后，引導學生根據正比例圖像進行判斷，解決簡單的實際問題，幫助學生進一步理解圖像上的點的實際意義，初步體會正比例圖像的作用，為今后函數相關知識的學習打下一定的基礎。接著學生通過不同形式的練習，進一步感知正比例圖像的特點，逐步積累借助圖像刻畫數量關系的經驗，不斷感受正比例圖像的實際應用價值。

一、課堂實錄——正比例圖像的探究過程

出示例題1的表格：

師：這是例題1表格中的各組數據，路程與時間成正比例關系，我們可以借助圖形來表示它們的變化關系。

（出示橫軸）

師：仔細觀察，橫軸表示哪個數量？

生：橫軸表示時間。

（出示縱軸）

師：縱軸表示哪個數量？

生：縱軸表示路程。

（出示完整的含有橫軸與縱軸的方格圖）（見圖1）

師：仔細思考，例題1表中的各組數據可以用方格圖中哪些點來表示？哪個點可以表示1小時行80千米？

（學生上臺演示）

生：在橫軸上找到1小時，在縱軸上找到80千米，它們的交點就表示1小時行駛80千米。

師：那么，你能照樣子在方格圖上，畫出其他各組數據的對應點嗎？其他同學也自己動手試一試。

（學生嘗試后反饋交流）

師：同學們經過努力，在方格圖上找到了表格中每一組數據對應的點。我們知道A點的意思是每小時行駛80公里，那么B點的意思是什么？其他各點呢？（見圖2）

生1：點B表示5小時行駛400千米。

生2：點C表示2小時行駛160千米。

生3：點G表示7小時行駛560千米。

……

師：當汽車還沒有啟動時，也就是說，當行駛時間為零時，汽車行駛的距離是多少千米？

生：0千米。

師：那么圖中哪個點可以表示這種狀態呢？

（學生在方格圖上找到原點）

師：仔細看看描述的每個點的位置。你發現了什么？你能在自己的方格圖上，把這些點按順序連起來嗎？

（學生自己嘗試連線后思考）

師：連接各點畫成的是什么圖形？

（教師出示部分學生的連線圖，見圖3～圖6）

師：同學們，請你們思考一下，哪個圖形更合理？為什么？

（小組交流后反饋）

生1：應該是一條直線，因為表格中最后一欄是省略號，省略號表示有無數，直線可以無限延長，所以直線合適。

生2：要從0開始畫，因為汽車不可能一下子跑到1小時80千米的位置。

生3：不從0開始畫，汽車行駛的時間小于1小時就找不到對應的點了。

……

師：回顧剛才的研究過程，我們根據表格中每一組數據，在方格圖上找到對應的點，連點成線。直線上的每個點不僅代表時間，還代表相應的路程。這條直線是一幅顯示路程與時間之間正比例關系的圖像。

二、案例分析——正視學生已有知識經驗的負遷移

特級教師賁友林指出：“正比例圖像的呈現形式，從表面上看是靜止的，但從列表、描點到連線這一過程來看，是運動、變化的。畫成的圖像從表面上看是完整的，其實是局部的、不完整的，它還可以延伸，即不斷地運動、發展、變化。”在正比例圖像的實際教學中我們發現，由于受到已有知識經驗和學習水平的影響，在正比例圖像的制作過程中，學生畫出了很多意想不到的圖像。分析其中原因，主要有兩點：思維特點導致理解有偏差，已有經驗對理解產生負遷移。

1.思維特點導致理解有偏差

由于小學六年級學生的發展處于從形象思維到抽象邏輯思維的過渡階段，要理解正比例圖像這樣一條“直線”，它還包含“兩個變量一個擴大（減少），另一個也擴大（減少），其比值保持不變”這種相互依存的關系是非常困難的。

2.已有經驗對理解產生負遷移

與學生熟悉的折線統計圖相比，正比例圖像與其外觀相似：有兩個相互垂直的坐標軸;制作過程類似——都是先描點再連線。因此學生很容易將畫折線統計圖的經驗照搬到正比例圖像的制作過程中來，從而得到錯誤的正比例圖像。事實上，兩者之間的區別是非常明顯的：折線統計圖的每一個統計數據都是相對獨立的，所描述的點是離散的，而在正比例圖像中，每個變量的值是連續的，因此描述的點也是連續的。正比例圖像反映了兩個變量之間相互依存的關系，是若干個連續的點的集合，自然包含“零點”和無限延伸。

三、教學思考——強化正比例圖像的形成過程和分析解讀過程

在正比例圖像的教學中，面對學生已有經驗的負遷移，教師要善加利用課堂中生成的“錯誤資源”進行教學。引導學生在比較、辨析、反思、交流的過程中，建立正確的正比例圖像的認識，并在研究中進一步感知兩個量的正比例關系，滲透函數思想。

（一）著力于正比例圖像的動態形成過程

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。”因此，在正比例圖像教學中，教師應注重引導學生體驗正比例圖像的形成過程，感受量的對應性和連續性，體會量的運動和變化。

1.依據已有經驗，找到對應點

通過以往的研究，學生們積累了用數對確定位置的經驗。在已有經驗的基礎上，通過描述點的過程，使學生自覺地將所描述的點與原表中每組數據對應起來，認識到每個點代表汽車在一定時間內行駛的路程，從而了解圖像上各點的實際意義。也就是說，每個點代表一組相應的時間和路程的數值。

2.連點成線，認識正比例圖像

在連點成線的教學中，抓住學生錯誤資源，有效生成，讓學生通過比較與討論等學習活動，在思辨中感悟正比例圖像的特點。讓學生在操作中感知，通過把各個點連接成一條直線的過程，對正比例圖像是一條直線有更深刻的體驗和理解。讓學生通過學習知道正比例圖像是直線，一是有助于學生根據圖像的形狀，判斷兩種相關聯的量是否成正比例關系;二是可以幫助學生檢查自己制作的正比例圖像是否正確。

3.應用圖像，解決實際問題

根據正比例圖像進行判斷，估計行駛時間所對應的路程或者行駛路程所對應的時間，要引導學生聯系用數對確定位置的經驗進行判斷。根據圖像進行估計，使學生進一步體會正比例圖像的意義和作用。通過解決簡單的實際問題，有助于培養學生分析問題和解決問題的能力，感受正比例圖像的實際應用價值。

（二）著眼于圖像的分析解讀過程

皮亞杰認為：“比例是函數的最初形式”，抓住機會幫助學生理解兩個變量之間的相互依存關系，豐富學生對變量的體驗，滲透函數的思想，是小學“正比例圖像”教學的核心。因此，在正比例圖像的研究中，教師要善于利用豐富的正比例圖像教學資源，引導學生在正比例圖像分析和解讀過程中，充分感受成正比例關系的兩種量的變化，并使相應的關系“可視化”。在運用正比例圖形解決問題的過程中，幫助學生積累解決問題的經驗，促進學生思維的發展，滲透函數思想。

1.注重比較，深化對正比例圖像的認識

結合例題（見圖7）進行設計，例題中為學生展現了汽車在不同狀態下的行駛情況。這三組數據雖然都反映的是路程與時間成正比例關系的兩個量，且都是直線，但是由于速度不同，直線呈線的角度不同。學生通過對正比例圖像的制作和比較，能夠充分體會路程與時間的變化規律，感受到這三組數據，路程與時間的比值（速度）一定，但由于比值（速度）不同，制作的正比例圖像也有所不同。速度越快，直線越陡，速度越慢，直線越緩。通過這樣的比較實踐，將生活經驗與數學知識相結合，有助于學生加深對正比例關系的理解，為學生滲透了函數思想。

2.借助不同的生活場景，豐富對正比例圖像的認識

教師結合實踐中不同的生活場景，精心設計的練習可以豐富學生對正比例圖像的理解。例如，汽車速度一定，時間和路程是成正比例關系的兩個量;電腦打字的速度不變，字數和時間是成正比例關系的兩個量;班級訂閱同一種報紙，訂閱數量和總價格是成正比例的兩個量;彈簧秤懸掛每千克物體的伸長長度一定，懸掛物質量和彈簧伸長長度是成正比例關系的兩個量……通過數形結合，變量之間的抽象關系變得生動、直觀，為學生今后學習正比例函數和正比例函數圖像鋪平了道路。

在正比例圖像教學中，要正視學生經驗的負遷移，這需要教師了解學生已有的知識經驗，尊重學生思維特點，通過豐富學生知識探究的過程，合理利用課堂生成資源，讓課堂在錯誤處“正”生長，讓學生在錯誤后有更多的收獲和體會。

【參考文獻】

[1]劉淑云，劉曉婷.正比例圖像教學應該關注什么——由“小學生學習正比例圖像的問題”引發的思考[J].小學教學（數學版），2012（12）.

[2]沈重予，王林.小學數學內容分析與教學指導[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.