“正弦函數、余弦函數的圖象”教學實錄

吳建濤

教材分析;

三角函數是基本初等函數之一，是學習高等數學的基礎。三角函數的研究已經初步把幾何與代數聯系起來了。它是解決實際生產問題的工具，是研究自然界周期變化規律最強有力的數學工具。

教學目標：

理解掌握用正弦線作正弦函數的圖象;熟練掌握用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖

教學重點：

用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象以及五點法畫正弦函數、余弦函數的圖象

教學實錄：

一.課題導入

師：當角的概念推廣之后，在弧度制下，實數集與角的集合之間就形成了一一對應的關系，而當角確定之后，正弦值隨之確定，余弦值也隨之確定，這樣，任意給定的一個實數x，有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應。由這個法則所確定的函數y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數（或余弦函數）。

師：正弦函數和余弦函數的定義域是什么？

生：定義域為R

師：遇到新的函數時，通常會先作出它的圖象，再通過圖像來研究它的性質。通過圖象可以研究函數的哪些性質？

生：值域、單調性、奇偶性、最值等

師：本課研究正弦函數和余弦函數的圖象

（教師板書：正弦函數、余弦函數的圖象）

師：多媒體展示“簡諧運動的位移和時間關系”圖象

師：通過剛才的多媒體展示，我們得到了一個以前未接觸過的圖象，這個圖象與我們今天研究的正弦函數和余弦函數圖象有什么關系呢？在數學中，我們如何利用所學過的數學知識來作出正弦函數和余弦函數圖象呢？

二.講授新課

1.利用單位圓中的正弦線作函數的圖象

師：用描點法作函數圖象的時，一般分哪幾個步驟？

生：列表、描點、連線.

師：列表的時候，在定義域內任意取一些自變量的值，然后計算出相對應的函數值。但是，對于正弦函數來說，它具有“周而復始”的變化規律，根據誘導公式，終邊相同的角的同名三角函數值相等，我們總可以把任意角的三角函數化成[0，2π]內的三角函數來研究。因此，我們先來研究y=sinx在[0，2π]的圖象.

師生共同討論總結描點法的弊端。當x取值時，y的值大都是近似值，加之作圖上的誤差，不易描出對應點的精確位置。

師：如何作出比較精確的正弦函數的圖象？

引導學生分析：要作出比較精確的正弦函數的圖象，關鍵要把“列表”中的點的縱坐標精確標出來，注意到點的縱坐標其實都是正弦值，因此，問題轉化成如何在坐標系中表示正弦值。學生已經學習過三角函數線——三角函數線從“形”的角度刻畫了三角函數值的大小，這樣學生很自然的想到利用單位圓中的三角函數線來表示點的的縱坐標——正弦值.

師：多媒體演示利用正弦線作正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，邊演示，邊講解，并不時的提問學生，與學生交流。

……

師：在剛才的作圖過程中，我們同樣是利用了描點法，所不同的是，在描點的時候，我們利用了三角函數線，使得描出來的點比較精確。

師：我們知道正弦函數的定義域是R，但是剛才得到的僅僅是[0，2π]上的圖象。

提出問題：如何由y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到y=sinx，x∈R的圖象.

2.由函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到函數y=sinx，x∈R的圖象

教師結合圖形，引導學生研究[2π，4π]上的圖象，讓學生觀察，發現：[2π，4π]上的圖象和[0，2π]上的圖象都是由相同的正弦線通過平移過去得到的，[2π，4π]上的圖象和[0，2π]上的圖象在形狀上是完全一樣的，只是位置不同，即要得到[2π，4π]上的圖象只需把[0，2π]上的圖象像右平移2π個就能得到，其他區間上的圖象也可以用類似的方法得到.

師生形成共識：把函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象沿x軸左、右平移，每次平移2π個單位，就可以得到y=sinx，x∈R的圖象.

師：多媒體演示由y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到y=sinx，x∈R的圖象的過程。

師：（小結）由y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到y=sinx，x∈R的圖象的過程中，根據的是誘導公式一：sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.

師：以后要作正弦函數的圖象，關鍵先作出哪個區間上的圖象？

生：先作[0，2π]的圖象，然后沿x軸左、右平移，每次平移2π個單位，就可以得到y=sinx，x∈R的圖象.

3.用“五點法”作正弦函數的簡圖

師：如果每次作正弦函數的圖象都用這種方法的話，麻煩不麻煩？

生：雖然精確，但很麻煩.

師：在精確度要求不太高時，如何作正弦函數的圖象呢？

師：觀察用單位圓中的正弦線作出的函數y=sinx，x∈[0.2π]的圖象，有哪幾個點在確定圖象的形狀起著關鍵作用？

生：在確定圖象的形狀起著關鍵作用五個點：（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）

師：精確度要求不太高時，要作y=sinx，x∈[0.2π]的圖象，只需先描出五個關鍵的點，再用光滑的曲線把它們連接起來.這種作圖的方法稱為“五點法”，這五個關鍵的點分別是：最高點，最低點以及與x軸的交點，每個點的橫坐標的取值是有規律的——每隔取一個值.

4.由正弦函數的圖象得到余弦函數的圖象

師：到這里，正弦函數的圖象就解決了，對于余弦函數的圖象，我們是否可以用類似的方法來研究？

生：可以，但比較繁.

師：要求學生課后用余弦線作余弦函數的圖象，并提出問題：以正弦函數的圖象為基礎，能否快速作出余弦函數的圖象？

師：哪個誘導公式能夠實現正弦和余弦的互化？

生1：把余弦化正弦，;

師：還沒有其它的誘導公式能夠實現余弦化正弦？

生2：;

師：要作的圖象，只要作或的圖象。從函數圖象變換的角度考慮，如何由y=sinx的圖象得到或的圖象，哪一個更簡單？

生：由y=sinx的圖象得到的圖象，需要經過兩次圖象變換，而由y=sinx的圖象得到的圖象只要經過一次變換即向左平移個單位，所以后者更簡單.

師：這樣，我們通過平移，就得到了余弦函數的圖象.

5.用“五點法”作余弦函數的簡圖

師：同樣，要作余弦函數的圖象，關鍵也是先作出[0，2π]上的圖象。

生：通過觀察類比，確定余弦函數圖象的五個關鍵點（0，1）、（，0）、（π，-1）、（，0）、（2π，1）.

師：在精確度要求不太高時，先作出函數y=sinx和y=cosx的五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們順次連結起來，就得到函數的簡圖。這種作圖法叫做“五點（畫圖）法”.

師：（小結）我們主要學習了作三角函數圖象的兩種方法：利用三角函數線作正弦函數的圖象和利用“五點法”作正弦函數、余弦函數的簡圖。用三角函數線作函數的圖象雖然精確但比較麻煩，在今后的學習中，我們更多的是用“五點法”，它更實用.

6.典型例題講解

示例1：（1）用“五點法”作函數y=1+sinx，x∈[0，2π]上的簡圖;

三、鞏固練習

在同一坐標系內，用五點法分別畫出函數y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[-，]的簡圖，并說出它們之間的關系.

（學生練習，教師個別指導）

四、總結提升

理解掌握用正弦線作正弦函數的圖象;熟練掌握用“五點法”作正弦函數和余弦函數的簡圖

五、自我評價

課本第46頁習題A組第1題.

六、教學總結

在本課的教學中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦、余弦函數圖像的“發現者”和“創造者”，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

（作者信息：無錫機電高等職業技術學校）