關(guān)于“動(dòng)點(diǎn)問題”的數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

陳曉波

摘 要：本文重點(diǎn)是探究幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，本人根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分三步來引導(dǎo)學(xué)生如何分析、解答動(dòng)點(diǎn)問題，在解決這類問題時(shí)，學(xué)生要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找等量關(guān)系式，從而找到解決問題的途徑。

關(guān)鍵詞：等量關(guān)系；變量關(guān)系；檢驗(yàn)

近年來，運(yùn)動(dòng)型問題常常被列為各省市中考的壓軸題之一，這類問題通常是在一些幾何圖形上設(shè)計(jì)一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中伴隨著等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究和探索。問題常常集幾何代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性和一定的難度。

例：已知，如圖，△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說明理由；

對(duì)于此類“動(dòng)點(diǎn)問題”，我們需要從下面三方面入手：

一、動(dòng)中求靜，由動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)變成靜點(diǎn)來分析。

怎樣由動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)殪o點(diǎn)呢？分析如下：點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，首先要分析∠BPQ有沒有可能出現(xiàn)直角的情況，很明顯，∠BPQ是有可能成為直角的，我們就把∠BPQ為直角的圖形畫下來，這就是由“動(dòng)”轉(zhuǎn)變成“靜”的思路。另外我們?cè)诜治龃藛栴}時(shí)還要更全面、更仔細(xì)些，題目中提出的問題是：△PBQ是直角三角形嗎？那就是說一個(gè)三解形中，除了∠BPQ是直角外，另外兩個(gè)角，∠BQP和∠PBQ有沒有可能為直角，很顯然，∠BQP有可能而∠PBQ沒有可能，同樣把這種可能情況的圖形畫出來。另外還要注意此類問題可能有兩種或多種情況出現(xiàn)，這就要求我們?cè)诰唧w問題中如何更全面地分析問題，防止漏掉一些可能出現(xiàn)的情況。

其實(shí)此類問題中的“靜”是指問題中不變的量或者不變的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)只有在運(yùn)動(dòng)到某種特殊的位置時(shí)才有特殊的數(shù)量關(guān)系，抓住這瞬間的動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，把一般問題轉(zhuǎn)化成特殊關(guān)系才是解決此類問題的關(guān)鍵所在。

二、根據(jù)已知條件，找出等量關(guān)系。

把圖形的動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)變成靜點(diǎn)后，要根據(jù)已知條件找出等量關(guān)系，先根據(jù)題意，設(shè)出未知數(shù)、列方程。上述例題中的條件是直角三角形，這就要求我們?cè)趯?duì)所學(xué)的知識(shí)非常熟悉，是利用三角形特殊角度的關(guān)系，還是用勾股定理，還是應(yīng)用三角函數(shù)等知識(shí)去解答，就需要我們?cè)诰唧w的問題中去分析，找出最簡(jiǎn)單的求解方法。

根據(jù)第一步的分析，上述例題中有兩種情況：（1）當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，因?yàn)椤螧=60°所以∠BQP=30°，所以BQ=2BP，這就得到了等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系求出 t=2s.（2） 當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，因?yàn)椤螧=60°所以∠BPQ=30°，所以2BQ=BP，這就得到了第二個(gè)等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系求出 t=1s.

在第二步中，正確、簡(jiǎn)潔的找出等量關(guān)系列方程求解就變得尤其重要，它可以簡(jiǎn)化計(jì)算，把比較復(fù)雜的問題變得非常簡(jiǎn)單，容易理解。如果在這個(gè)問題中你選擇勾股定理的話，就計(jì)算而言，難度增加了許多。因此，如何靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)就變得非常關(guān)鍵了。

三、檢驗(yàn)答案的可行性。

對(duì)于有些動(dòng)點(diǎn)問題會(huì)出現(xiàn)多種情況，而每種情況中可能會(huì)有一個(gè)或多個(gè)答案，并不是解出的所有答案都符合題意，有些答案并不符合題目的要求，因此我們?cè)谇蟪龃鸢傅耐瑫r(shí)還要正確地驗(yàn)根，是否符合題意，再根據(jù)實(shí)際情況取舍。

在這一步中，主要目的是做到審題嚴(yán)謹(jǐn)，舍去不符合題意的答案。

動(dòng)點(diǎn)問題主要是考查學(xué)生對(duì)幾何元素的運(yùn)動(dòng)變換性質(zhì)，它主要揭示“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”，“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系，以及在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的唯物辨證關(guān)系。在教學(xué)中，此類問題對(duì)于初次接觸的學(xué)生來說，有一定的難度，教師在首次教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何分析，如何找等量關(guān)系是至關(guān)重要的，當(dāng)學(xué)生遇到過此類問題后，可以給一定的時(shí)間思考，然后分小組交流討論，派代表展示他們討論的結(jié)果，其它同學(xué)給出正確的評(píng)價(jià)，最后教師點(diǎn)評(píng)，相信通過不同類型動(dòng)點(diǎn)問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生的分析此類問題的能力會(huì)得到大大的提高。

參考文獻(xiàn)：

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