a^c與c^a的比較大小問題的一點思考

李源

摘 要：本文研究ac與ca的比較大小問題通過引入輔助函數利用函數的單調性解決大小比較問題。

關鍵詞：對數函數;單調性;摘帽公式

在多年的教學生涯中筆者經常遇到這樣的問題：

例1：請比較與的大小，這類問題通常使用指數函數與冪函數的單調性將就能夠得到順利的解決，下面我們簡單解答一下這個問題：

因為函數為減函數，又>，所以>.又因為函數在（0，+∞）上是增函數，且>所以>，

所以>.

這么看來類似這樣比較形如ab與ba大小的問題也不難嘛，只要利用單調性進行正確的放縮就可以了，那么下面我們再來看一個問題：

例2：請比較43.3與3.34的大小

讀者不妨用上述方法試一試很容易發現上述的方法不靈了，原因就在于前面例子中所使用的兩個函數單調性相反，這樣的話兩個待比較的數字正好一個大于中間數，一個小于中間數，從而使得問題得以解決，而在這個例子中所能涉及到的四個函數無一例外的在上都是增函數，從而使得待比較的兩個數字要么都大于中間數，要么都小于中間數從而使得問題無法得到解決，那么到這里也許部分讀者會說反正數字也不大，大不了動筆算，可是在不借助計算器的情況下我們能準確算出43.3的大小么，更不要說計算類似大小了，那么這樣的問題又該如何解決呢？下面我們再看一個問題.

例3：請比較6677與7766的大小.

這回別說計算器了一般的計算機也無法處理這么大的數字，做商比較也很困難，有一些現行的比較方法但大都強調技巧性，有沒有一種通用的簡便方法呢，筆者經過長時間的思考與探索偶然發現了一種方法可以較好的解決此類問題。

我們知道用利用函數的單調性方法是高中數學一個常用的方法，本例中前文已經說明指數函數與冪函數不適合此種題目，那么作為高中函數另一種重要函數的對數函數是否可以處理此類問題呢，我們知道本例之所以難處理其中一個重要原因就是指數太大，而利用對數函數中的“摘帽”公式“”可以輕松的把指數運算轉化為乘法運算，從而實現“化大為小”的目的。

回到本例中的問題，我們對兩個數字同時取以e為底的對數，問題就變成了比較ln6677與ln7766的大小，進一步變成比較77ln66與66ln77的大小，到這里我們不妨假設77ln66>66ln77，變形得，這樣的話就化成了類似函數的形式，接下來只需要利用導數工具研究這個函數的單調性也就可以了。對函數求導得

令f'（x）>0，即1-lnx>0，解得0

令f'（x）<0，即1-lnx<0，解得x>e.

所以f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為.

所以f（66）>f（77），即，從而問題得證.

我們不難發現通過這個方法我們可以得到以下結論：

1.若0

2.若則有.

這個結論僅僅適用于a、b在e的同側的問題，對于在e的異側的問題不適用，比如比較42.3與2.34的大小，這種情況筆者未能找到通用的方法，期待各位同仁繼續研究此問題.