轉化思想在解中學數學題中的應用

徐雁明

【摘要】數學教學的核心在于數學思維的培養。轉化思想是中學數學的基本數學思想之一，也是數學思想方法的核心。轉化思想是指在分析解決問題時把那些待解決問題通過某種轉化過程，化歸為一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答。因此，解題時要善于將復雜化簡單，陌生化熟悉，一般化特殊，數形互化等。

【關鍵詞】中學數學；數學解題；轉化思想

轉化思想的應用十分廣泛，在較為綜合的數學問題解決當中離不開轉化思想——把復雜的問題化為簡單的形式，把抽象的問題化為具體的，把不熟悉的化為熟悉的，甚至數化為形。所謂分析和解決問題的能力，就是不斷轉化的能力，同時邏輯思維的過程，也是不斷轉化的過程。數學問題的設計都是圍繞著最基本的數學概念、定理、知識、方法而進行的，都是為考查“三基”服務。因此，無論問題設計得多么復雜，總能經過適當的轉化，把問題歸結到最基本的知識。為此，在解答數學問題時要善于將復雜、陌生的問題轉化為簡單、熟悉的問題來解決，轉化思想是解答數學問題的重要思想。

一、 “一般”化為“特殊”：對一些“成立”問題，常常可以取幾個“特殊值”進行分析

例1. 證明：對任意m∈R，直線y-mx+

3m+2=0恒通過定點，并求出該定點的坐標。

分析：對任意實數m，直線總過定點，因此，當m=0或m=1時，直線也過定點。所以，定點的坐標應滿足方程組

這里便體現著“一般”（對任意實數m，直線總過定點）化到“特殊”（m=0，m=1時，直線也過定點）的轉化。

解：令m=0，m=1，有 ， 則有 。把它代入原直線方程得到式子：-2-3m+3m+2=0。此式對任意實數m恒成立，所以對于任意實數m，直線 y-mx+3m+2=0恒過定點（3，-2）。

二、“不熟悉”轉化為“熟悉”：常常可以把極坐標中不熟悉的問題轉化為直角坐標來解決，復數中不熟悉的式子轉化為實數式（實行公式應用轉化）

例2 .求在極坐標系下的圓

的圓心坐標。

分析：我們學習極坐標方程的時間較短，接觸不多，對其不太熟悉。因此，我們較難知道 是怎么樣的圓，但化為直角坐標后，求圓的圓心坐標是我們很熟悉的。應該注意的是，最終結果是圓心的極坐標形式，而不是直角坐標的形式。

解：把極坐標與普通方程的互化公式：

代入極坐標方程，得到圓的直角坐標方程： ，所以，

因此圓心的直角坐標為 ，再轉化為極坐標形式為 ，

即圓 的圓心坐標為 。

三、“未知”化為“已知”，把問題的特定量通過題意條件轉化到已知部分去求解

例3.設f（x）是 上的奇函數，

f（x+2）=-f（x），0≤x≤1，f（x）=x，則f（7.5）等于 （A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5）

分析：f（7.5）不在0≤x≤1上，我們無法直接求出f（7.5）的值 ，必須對f（7.5）作適當的轉化使f（7.5）最后在0≤x≤1。

解： f（7.5）=- f（5.5）= f（3.5）=- f（1.5）= f（-0.5）

又f（x）是奇函數， f（-0.5）=- f（0.5）=-0.5，故答案為B。

四、“立體”化為“平面”，在某些立體問題中需要考慮其展開圖，而立體幾何中的計算一般是轉化成解平面三角形的相關問題

例4.在母線長為20cm，上下底面半徑分別為5cm，10cm的圓臺中，從母線AB的中點M拉一根繩子，圍繞圓臺側面轉到B點， ①求繩子的最短長度；②求此狀態的繩子和圓臺上底圓周的最短距離。

分析：空間中解決此問題難度較大，因為立體幾何比較抽象，我們應把圓臺的側面展開到平面上，把空間問題轉化為平面問題。

解：如圖，設圓臺側面展開圖的圓心角為α，OA=r 則有

解得r=20

由10π=αr 和r=20

得α=π/2

∴繩子的最短長度為

作OD⊥MB， 則

∴ED=24-20=4cm，則繩子和圓臺上底圓周間的最短距離為4cm

五、“幾何條件”轉化為“代數式”（或代數方程），在解析幾何中常常涉及到一些幾何條件，如線段長度，直線垂直等，應轉化為成相應的代數式或方程

例5.直線l=mx+1與橢圓C： ，交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標原點），求點P的軌跡方程。

分析：設 ，因為OA、OB為平行四邊形OAPB的鄰邊，令E為OP的中點，則E也為AB的中點，通過適當的轉化，可以求出點P的軌跡方程。

解：設 ，OP的中點為E，則E的坐標為（ ， ）。 由

消去y，得

由韋達定理得 則有

即AB的中點為E

，于是 消去m，得點P的軌方程為。

六、“多”化“少”，一個式子往往有多個變量或成分，利用題意或適當的方法，減少變量或變式成分，讓問題易于處理和判別

例6.求拋物線上的點，使得該點與點P（5，0）的距離取最小值。

解：在拋物線任意取一點 m（x，y），則y2=4x

∴當x=3時， 取最小值4，即拋物線上的點到P點的距離的最小值為4。

七、“動”與“靜”的轉化，數學中許多靜止狀態的圖象的位置與形態可以運動的觀點理解為運動的特殊位置和形態，能使靜止的圖形具有活力，而運動從它的反面找到它的量度，從可變性中挖掘其內在確定性

例7. 如圖邊長為2a正三角形ABC頂點A、B，分別在x軸和y 軸上移動，求頂點C 原點O的距離d的最小值和最大值.

分析：動三角形ABC看作相對定點O不動，而O相對三角形ABC運動。此時點O運動軌跡為以AB為直徑的圓，問題就轉化為求C到圓上的點的距離的最大值和最小值。

解：將三角形ABC固定，原點O相對三角形ABC運動，其軌跡是以AB為直徑的圓。設其圓心為p，半徑為a，則

由平面幾何知，可得 。

八、“數”“形”轉化，數與形是數學研究的兩類不同對象，但對同一個問題往往可以用數與形兩種形式規劃，二者相互溝通和轉化，既可以發揮數的嚴密性，又可以體現形的直觀性

例8.已知實數x，y滿足

求y/x的最大值。

分析：本題直接求解較為困難，但是把問題轉化為求直線OP斜率的最大值。

解：畫出 的圖形 ，設直線OP的方程為y=kx，則有當直線與圓相切時，直線的斜率最大。

∴當圓點（2，0）到直線的距離為d，且半徑 時，直線與圓相切。

即 ，解得 ，∴斜率 最大值為 。

總之，這些不同類型的轉化，遠遠不能概括“轉化思想”的豐富內容，而且這些類型也不是絕對的，而是互相交叉、互相滲透的。譬如“一般”化“特殊”， “不熟悉” 化“熟悉”等，特別是“數” 與“形”轉化，我們常用的一些思想方法，對此我們是熟悉的，還要“熟練”的。教師在平時的教學中要善于引導和鼓勵學生在學習上和生活中經常運用轉化思想，這樣，將能解決更多的數學問題。

參考文獻：

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