正項級數比較判別法的商榷

胡旭東

摘 要：文章主要介紹了正項級數收斂判別法中最重要的比較判別法，通過對傳統方式進行微調提高比較判別法的實效性。

關鍵詞：正項級數；收斂；比較判別法。

高等數學是重要的公共基礎課程。級數理論是高等數學的重要組成部分，正項級數又是級數理論中最重要的組成部分，級數的收斂性更是級數理論的核心問題。正項級數收斂性判斷的方法雖然較多，其中的基礎性方法就是比較判別法。但是傳統經典的描述方式存在一定缺陷，下面我們對經典描述做適度微調，可以發現如此解決問題就能事半功倍。

傳統經典的描述方式

上述判別法是許多高等數學教材中普遍采用的描述模式，定理1是定理2的理論基礎，但是定理1的描述本身有明顯缺陷，定理中條件un≤vn（n=1，2，···）是不明智的，它帶有歧義，是不是需要從n=1開始限制un≤vn？如果這樣則定理1的作用大打折扣。

2.對經典傳統的微調

下面結合級數收斂的性質對定理1中的條件做合理的微調，可以看到微調后的定理1更加適合于實際運用。

可以看到，我們僅僅是對定理1中的條件做了微調，不過這種微調卻給定理2的證明撥開迷霧，讓定理1的應用柳暗花明。下面舉例說明：

例1定理2中結論的證明。

上述問題用到了由比較判別法衍生出來的積分判別法，其中在條件x>e下的推理形式和本文所述的妙味是相似的。由此可以加深體會微調的作用所在。

綜上所訴可以看到，定理l'相對于定理1的優越性是不言而喻的。如果在教學中能夠做出本文所指出的微調，這件事雖小，但的確超越了傳統之經典。

參考文獻：

《高等數學》 科學出版社 2011年2月第一版