巧用摩擦角，妙解高考題

范良蘭

摘 要：摩擦角在高中的教學(xué)中并沒(méi)有要求，但是在解高考題中的應(yīng)用，相對(duì)于常規(guī)解法，利用摩擦角可以有事半功倍的的效果，也更能體現(xiàn)本學(xué)科的學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：摩擦角;解題

一、試題出處：2012年高考全國(guó)新課標(biāo)理綜卷24題

原題：拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略;拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小。

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ0。

二、講解過(guò)程

1、審題

就是教學(xué)生的審題方法。審題實(shí)質(zhì)上還是理解能力，理解題目所涉及的物理現(xiàn)象和物理過(guò)程，明確題目中所提供的條件和要求。

（1）、抓住關(guān)鍵字眼，突出物理狀態(tài)。

（2）、分析已知條件、挖掘題目隱含條件。

拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略;拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小。

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ0。

2、解題

（1）拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小

對(duì)拖把受力分析，畫出受力示意圖：由于勻速移動(dòng)，由共點(diǎn)力平衡條件可得：

水平方向：Fsinθ=ff=μN(yùn)豎直方向：N=mg+Fcosθ

解得：F=方法1：把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力即F水平=fm

依題意有：λ==

不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)則應(yīng)滿足：Fsinθ≤fm

fm=λNN=mg+Fcosθ

三式聯(lián)立得：Fsinθ≤λ（mg+Fcosθ）

即（sinθ-λcosθ）≤λmg/F

不管沿拖桿方向的推力多大，此式恒成立，即F趨于無(wú)窮大時(shí)，（sinθ-λcosθ）≤0

解得：tanθ≤λ故tanθ0=λ

方法2：用摩擦角來(lái)解決這一問(wèn)題

令地板對(duì)拖把的正壓力N與最大靜摩擦f的合力為R，物理學(xué)中將此合力稱為全反力，此合力與正壓力N之間的夾角α稱為摩擦角，由圖可得：tanα==λ即α角的大小由λ決定。當(dāng)外力F與正壓力之間夾角為θ時(shí)，則使物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力

Fx=Fytanθf(wàn)m=Ntanα=（mg+Fy）tanα

比較兩式可得：若θ≤α?xí)r，無(wú)論外力F多大都有Fx≤fm，（即滿足題中不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)（這就是生活中遇到的自鎖現(xiàn)象）。故臨界角的正切tanθ0=λ

三、試題拓展及試題的意義

1.試題拓展：

變式：針對(duì)本題的第一問(wèn)后，還可設(shè)置一問(wèn)：用沿拖桿施加一拉力F，使拖把在地板上勻速移動(dòng)，則拖桿與豎直方向的夾角θ取何值時(shí)，拉拖把的力的最小，最小的拉力多大？

方法1（利用配角公式求解極值）：

由于勻速：Fsinθ=ff=μN(yùn)=μ（mg-Fcosθ）

兩式聯(lián)立得：F==

當(dāng)θ+Ф=90o即θ=90o-arctanμ時(shí)，F(xiàn)有最小值Fmin=

方法2：（利用摩擦角來(lái)解決）

如右圖，用全反力（正壓力N與摩擦力f的合力）代替摩擦力與支持力，即可將四力平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三力平衡。而全反力方向恒定，在矢量三角形中進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析得：

Fmin=mgsinɑ

對(duì)于摩擦角有：tanɑ=μ，此時(shí)θ=90o-ɑ

2.試題的意義

此題背景來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，能很好地體現(xiàn)物理學(xué)的應(yīng)用性與實(shí)踐性。對(duì)于平時(shí)比較有參與拖地的又善于思考同學(xué)會(huì)得到生活經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)，此試題對(duì)倡導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)勞動(dòng)、將物理與生活聯(lián)系起來(lái)有很好的導(dǎo)向作用。

力學(xué)中常遇到物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷和極值的求解，（如：2010年高考新課標(biāo)理綜卷第18題、2013年高考山東卷22題第二問(wèn)等。）常涉及到函數(shù)的配方、三角函數(shù)、配角公式等繁雜的數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。學(xué)生在這方面總顯得力不從心。通過(guò)這個(gè)題目講解把摩擦角引入教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生利用摩擦角結(jié)合圖示分析求解就不僅可避開(kāi)復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算使解題更簡(jiǎn)捷、直觀，更能讓學(xué)生理解這些現(xiàn)象的物理本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。