基于滑模控制技術(shù)的視覺板球控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

韓治國 李偉 馮興 陳能祥

摘?要：針對(duì)視覺板球跟蹤控制問題，基于線性化動(dòng)力學(xué)模型，研究了基于滑模變結(jié)構(gòu)控制技術(shù)的視覺板球跟蹤控制。首先，根據(jù)板球系統(tǒng)的物理模型，推導(dǎo)了視覺板球的動(dòng)力學(xué)模型，在小角度假設(shè)下，對(duì)建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了線性化，并建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其次，針對(duì)建立的狀態(tài)空間模型，通過設(shè)計(jì)線性滑模面，結(jié)合新型非線性滑模趨近律，設(shè)計(jì)了視覺板球滑模控制律，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)設(shè)計(jì)的滑模控制律進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。最后，將設(shè)計(jì)的控制律代入建立的狀態(tài)空間模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，同時(shí)與現(xiàn)有的控制方法（極點(diǎn)配置與LQR）進(jìn)行對(duì)比仿真。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的滑模控制律漸近穩(wěn)定，并且具有良好的控制精度與系統(tǒng)收斂速度，穩(wěn)定精度高，可實(shí)現(xiàn)視覺板球位置跟蹤控制。關(guān)鍵詞：視覺板球;位置跟蹤;滑模控制;新型趨近律;Lyapunov穩(wěn)定性中圖分類號(hào)：TP 13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：1672-7312（2019）06-0679-06

Control system design for visual cricket based on sliding model control

HAN Zhi-guo1，LI Wei1，F(xiàn)ENG Xing2，CHEN Neng-xiang2

（1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China;2.Shenzhen Qianhaigezhi Technology Co.，Ltd.，Shenzhen 518000，China）

Abstract：In this paper，aiming at the issue of visual cricket tracking control，on the basis of the linearized dynamic model，the visual cricket tracking control law based on the sliding mode control technology was studied.Firstly，according to the physical model of visual cricket system，the dynamic equation was derived.And with the small-angle hypothesis，the dynamic equation was linearized to establish the state equation.Secondly，on the basis of the linearized state equation model，the new sliding mode control law were designed through the linear sliding mode surface and the new sliding mode approaching law.And the stability of the designed sliding mode control law was proved based on the Lyapunov stability theory.Finally，the obtained control law was substituted into the linearized state equation model to carry out verification.Comparative simulations were carried out with existing control methods.The simulation results showed that the control law designed in this paper was asymptotically stable，and also had satisfactory control precision，system convergence rate and stable precision.So it could achieve the control of visual cricket tracking.

Key words：visual cricket;position tracking;sliding mode control;new type reaching law;Lyapunov stabilization

0?引?言

當(dāng)前，我國在“新工科與中國教育現(xiàn)代化”建設(shè)的背景下，迫切需要高等院校培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力和實(shí)際動(dòng)手能力的航天科技人才，動(dòng)手能力的培養(yǎng)面臨著巨大的挑戰(zhàn)。作為控制學(xué)科的人才培養(yǎng)，視覺板球系統(tǒng)是很好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[1-2]。視覺板球系統(tǒng)是進(jìn)行自動(dòng)控制原理、現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)的典型實(shí)驗(yàn)裝置，該實(shí)驗(yàn)裝置通過工業(yè)攝像機(jī)實(shí)時(shí)拍攝平板上小球的位置，通過圖像分析方法計(jì)算小球在平板上的相對(duì)位置，將得到的小球位置與實(shí)驗(yàn)前設(shè)定的小球理想位置進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)位置差，基于PID、LQR、滑模控制等控制理論實(shí)時(shí)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速，控制小球在平板上進(jìn)行移動(dòng)，進(jìn)而控制小球到達(dá)理想位置[3-5]。

視覺板球系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖1（a）為視覺板球原理圖，圖1（b）為視覺板球?qū)嵨飯D[6]。本課題的研究目的是控制小球穩(wěn)定在給定位置（該位置可任意設(shè)定，不超出視覺系統(tǒng)的探測范圍與平板的大小即可）。

目前，針對(duì)視覺板球系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，國內(nèi)許多高校進(jìn)行了大量研究，如西華大學(xué)的徐云云[7]針對(duì)離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)了離散滑模控制律，內(nèi)蒙古科技大學(xué)的吳何琛[8]基于LQR控制理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)、中南大學(xué)的呂凱[9]設(shè)計(jì)了PID板球控制律、北京理工大學(xué)的董振曄[10]研究了自抗擾控制，雖然這些控制方法均取得了較為良好的控制效果，但是所設(shè)計(jì)的控制律均需較大的電機(jī)轉(zhuǎn)角角加速度，不易工程實(shí)現(xiàn)。

文中針對(duì)視覺板球系統(tǒng)，在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，基于滑模控制理論，設(shè)計(jì)滑模控制率，實(shí)現(xiàn)對(duì)視覺板球系統(tǒng)的控制。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的有效性，并與狀態(tài)空間極點(diǎn)配置、LQR控制進(jìn)行對(duì)比仿真，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比，進(jìn)一步說明該設(shè)計(jì)方法的有效性。

1?板球系統(tǒng)的物理建模

針對(duì)深圳前海格致科技有限公司設(shè)計(jì)的視覺板球系統(tǒng)進(jìn)行研究，視覺板球的簡化結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。在以下進(jìn)行系統(tǒng)建模時(shí)，參考了文獻(xiàn)[6，11-12]的建模方法。

1.1?小球的動(dòng)能建模

Tb=12m（2+2）+

12Ib（ω2x+ω2y）

由于小球在運(yùn)動(dòng)過程中沒有滑動(dòng)，從而

=rbωx，=rbωy

（2）

將式（2）帶入式（1），有

Tb=

12m+Ibr2b

（2+2）

（3）

1.2?平板的動(dòng)能建模

Tp=12Ip（2+2）

+12（Ib+m|Ω×r|2）（2+2）

（4）

又|Ω×r|2=

（x+y）2

2+2

，代入得

Tp=12（Ib+Ip）

（2+2）+12m

（x+y）2

（5）

1.3?零勢能點(diǎn)選擇為坐標(biāo)原點(diǎn)

則小球勢能為

Vb=mg（xsinα+ysinβ）

（6）

并將式（5）和式（6）帶入拉格朗日方程

ddt

L

i

-L

i=Qi

，得系統(tǒng)的方程組為

x：m+Ibr2b

-m（x2+y）+mgsinα=0

y：m+Ibr2b

-m（y2+y）+mgsinβ=0

α：（Ib+Ip+mx2）+mgxcosα+m（xy+y+x+2x）=τx

β：（Ib+Ip+my2）+mgycosβ+m（xy+y+x+2x）=τy

（7）

1.5?板球系統(tǒng)的模型簡化

由于板的轉(zhuǎn)動(dòng)角度范圍不大（±6°），在小角度下有

sinα≈α，sinβ≈β.從而對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)附近微分方程式（7）中式（a），（b）進(jìn)行線性化得

x：m+Ibr2b

+mgα=0

y：m+Ibr2b

+mgβ=0

（8）

取

x，，

α，，y，，β，為系統(tǒng)的狀態(tài)，平板的角加速度為控制量。令

x=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8]T

=[x，，

α，，y，，β，]T，y=xu=

[，]T

則系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程為[4]

=Ax+Bu

y=x

（9）

其中，矩陣A，B參見文獻(xiàn)[6]。取g=9.81 m/s2，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Ib=25mr2b

，帶入中，有g(shù)=7.007.當(dāng)設(shè)

xx=[x1，x2，x3，x4]T，

xy=[x5，x6，x7，x8]T，

可得

x

=1

2

3

4

=Axxx

+bxux，yx=[1，0，0，0]xx，

Ax=

0100

00-7.0070

0001

0000

通過式（10）和式（11）可以看出，x，y方向的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是解耦的且系統(tǒng)模型完全一致，因此本文只針對(duì)x方向進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

2?滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1?控制律設(shè)計(jì)

滑模控制系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)過程可由2個(gè)階段組成：第一階段是趨近階段，它完全位于滑模面之外，或者有限次的穿過滑模面;第二階段是滑動(dòng)模態(tài)，完全位于滑模面上的滑動(dòng)模態(tài)區(qū)[13-15]。因此，可將滑模變結(jié)構(gòu)控制

u（x，t）分為切換控制與等效控制：即

un（x，t）

與

ueq（x，t）.

文中針對(duì)線性化板球控制方程，采用如下的滑模面[16-17]

S（x，t）=Cx

（12）

式中?S（x，t）為設(shè)計(jì)的滑模面，是關(guān)于狀態(tài)與時(shí)間的函數(shù);

C為適維矩陣。

為使系統(tǒng)能快速接近切換面，并且改善其抖振現(xiàn)象，采用新型趨近律[18-20]

=-εfal（s，η，δ）-karsh（s）

其中，0<δ<1，η>0，ε>0，δ為fal（s，η，δ）在原點(diǎn)附近正負(fù)對(duì)稱線性段的區(qū)間長度，并且fal（s，η，δ）為非連續(xù)函數(shù)。

針對(duì)文中設(shè)計(jì)的滑模面（12）與趨近律（13），設(shè)計(jì)的控制律如下式所示

u（x，t）=

ueq（x，t）+un（x，t）

un（x，t）=-（CB）-1（εfal（s，η，δ）+karsh（s））（17）

2.2?穩(wěn)定性證明

證明：選擇如下的Lyapunov函數(shù)

V=12ST（x，t）S（x，t）

（18）

對(duì)上式求導(dǎo)可得

=ST（x，t）（x，t）

=ST（x，t）C

=ST（x，t）C（Ax+Bu）

（19）

將設(shè)計(jì)的控制律式（15）～式（17）帶入式（19），可得

=ST（x，t）（CAx+CBu）

=

ST（x，t）（CAx-CAx-εfal（s，η，δ）-karsh（s））

=ST（x，t）（-εfal（s，η，δ）-karsh（s））

=-ST（x，t）（εfal（s，η，δ）+karsh（s））≤0

因此，文中設(shè)計(jì)的控制律漸進(jìn)穩(wěn)定。

3?仿真分析

文中針對(duì)系統(tǒng)模型（10），采用設(shè)計(jì)的控制律（15）進(jìn)行仿真驗(yàn)證。系統(tǒng)模型參數(shù)見式（10），滑模面參數(shù)：δ=0.02，k=6，η=0.5，ε=0.01.設(shè)定的小球跟蹤位置為x=0.2.

根據(jù)給定的仿真參數(shù)，仿真結(jié)果如圖3～圖8所示。 圖3為小球位移曲線，可以看出，經(jīng)過6 s左右，小球能夠穩(wěn)定到給定位置，穩(wěn)態(tài)誤差為1.073 6×10-10. 圖4為小球移動(dòng)過程中小球速度曲線，同樣，經(jīng)過6 s左右，小球的速度幾乎為0.圖5為小球移動(dòng)過程中，電機(jī)轉(zhuǎn)角曲線，圖6為電機(jī)轉(zhuǎn)角角速度曲線。從圖中可以看出，電機(jī)轉(zhuǎn)角角度范圍為[-2.5，2]，電機(jī)轉(zhuǎn)角角速度范圍為[-5，5]。

圖7為小球移動(dòng)過程中，電機(jī)的角加速度曲線，即系統(tǒng)的控制律，從圖中可以看出，在小球移動(dòng)過程中，電機(jī)角加速度曲線變化非常平穩(wěn)，大約6 s后，電機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，小球穩(wěn)定在給定的位置上，電機(jī)轉(zhuǎn)角角加速度范圍為[-0.6，0.3]。圖8為文中設(shè)計(jì)的滑模面變化曲線，可以看出，大約2 s左右，系統(tǒng)回到滑模面附近，2 s之后，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定的維持滑模運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定精度為2.711×10-15.綜合仿真結(jié)果可以看出，文中設(shè)計(jì)的控制律具有較高穩(wěn)定控制精度。

為了說明本文設(shè)計(jì)的控制律的有效性，與采用極點(diǎn)配置法以及LQR控制法進(jìn)行對(duì)比[6，20]，控制器參數(shù)為：極點(diǎn)配置，K=[-14.985 0，-16.554 9，54，12，LQR控制，

K=[-12.247 4，-12.692 5，45.512 8，9.799 3]。仿真結(jié)果如圖9～圖12所示。從圖9可以看出，采用極點(diǎn)配置法與LQR控制，均能過使系統(tǒng)穩(wěn)定到給定的位置，系統(tǒng)穩(wěn)定精度為：

1.895 7×10-4.雖然系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間較短，控制精度較高。但是，從圖10看出，電機(jī)轉(zhuǎn)角角度范圍為[-6，3]，從圖11看出，電機(jī)轉(zhuǎn)角角速度范圍為[-25，15]，從圖12看出，電機(jī)轉(zhuǎn)角角加速度范圍為[-6，2]。跟文中設(shè)計(jì)的控制下相比，采用極點(diǎn)配置法與LQR控制，電機(jī)的轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度均大大的高于文中設(shè)計(jì)的控制律的參數(shù)范圍，對(duì)電機(jī)的性能要求較大。因此，通過對(duì)比，文中設(shè)計(jì)的控制律控制精度高，電機(jī)的轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度變化范圍小，對(duì)電機(jī)的性能要求低。

4?結(jié)?語

研究了基于滑模控制理論的視覺板球控制問題。根據(jù)板球系統(tǒng)的物理模型，推導(dǎo)了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，在小角度假設(shè)下，對(duì)建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行線性化，建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。針對(duì)建立的狀態(tài)空間模型，通過設(shè)計(jì)線性滑模面和新型非線性滑模趨近律，設(shè)計(jì)了基于滑模控制的視覺板球控制方案，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)設(shè)計(jì)的控制律進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。同時(shí)，將設(shè)計(jì)的控制律代入建立的狀態(tài)空間模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果驗(yàn)證了文中設(shè)計(jì)方法的有效性。為了進(jìn)一步說明文中設(shè)計(jì)方法的有效性，將本文設(shè)計(jì)方法與現(xiàn)有控制方法進(jìn)行對(duì)比仿真，通過對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)角、電機(jī)轉(zhuǎn)角角速度、電機(jī)轉(zhuǎn)角角加速度等參數(shù)的對(duì)比可以看出，文中設(shè)計(jì)的控制律不僅具有較高的位置控制精度，而且需要的電機(jī)轉(zhuǎn)角較小，便于工程實(shí)現(xiàn)。

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（責(zé)任編輯：張?江）