探究大學數學教法中的幾個技巧

何川 趙文靜

摘? 要：教學是一門藝術。對于大學數學教學而言，一個好的教學效果，不僅是把數學知識、技巧講的準確，而且要在講授數學知識和技巧的過程中，注重培養學生的數學思維方式。在這些都做好的基礎上，如果在教學的過程中還能教出數學的樂趣，那么會讓學生發自內心地喜歡上數學。如何教出數學的樂趣？筆者以《概率論與數理統計》中的知識點為例，從“在思維中找樂趣”、“充分運用對比的手法備課”和“在應用中找樂趣”三個角度闡述如何教出數學的樂趣。

關鍵詞：數學;藝術;應用

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2019）07-0079-03

Abstract： Teaching is an art. For college mathematics teaching， a good teaching effect is not only to accurately explain mathematical knowledge and skills， but also to pay attention to cultivating students' mathematical thinking mode in the process of teaching mathematical knowledge and skills. How to teach math for fun？ Taking the knowledge points in probability theory and mathematical statistics as an example， the author expounds how to teach the pleasure of mathematics from the three perspectives of "finding pleasure in thinking"， "making full use of the technique of contrast to prepare lessons" and "finding pleasure in application".

Keywords： mathematics; art; application

眾所周知，興趣是推動一個人求知的巨大內在力量。許多數學家之所以把畢生的精力奉獻給數學，是因為他們在科研的過程中發現了學習和研究數學的樂趣。然而現實生活中的情況大多是：許多人一提到數學不但不覺得快樂，反而枯燥的感覺更多一些。前者在人群中只是一少部分，而后者卻是絕大多數。因此一個好的教學效果不僅要教好學生數學知識和技巧，而且會在教授知識和技巧的過程中，教會學生如何去發現和感受數學的快樂。因為一旦學生發現了數學知識表面隱藏的內在樂趣之后，他自己就會主動的學習了，主動學習狀態可能會讓一個人受益終生。所以教出數學的樂趣是一個值得我們大學教師共同探討的話題。

一、在思維中找樂趣

從某種意義上說，數學的真正精髓不在于數學知識和數學技巧的本身，而在于數學思維。這就如同歌唱中的樂感、打球中的球感、文學創作中的靈感一樣。在大學數學教學中教會學生數學的思維方式要比講授數學知識和技巧更為重要。我們知道許多數學專業課經常是邏輯推理，訓練的是邏輯思維。那么我們不妨就在思維上入手，去發現數學教與學的樂趣。筆者總結有兩種方式。一個是注重引導，一個是注重思維的跳躍性。

一個是注重引導。許多數學定理的證明是很長的，筆者認為在推導定理之前，先復習一下定理中涉及到的之前學過的知識是非常重要的一環，這就如同小說寫作中前文埋下的伏筆。之后在整個推導過程中，在用到這些公式的地方不去直接講，而是采用提問的方式，盡量讓學生自己說出來下一步的解決方法。也就是說數學教師起到的是引導、啟發的作用，而不是直接告訴學生結果。因為這個結果如果是學生主動說出來的，那么他便會有一種成就感，因為他經過了一個思維的過程。而且他也會對自己經過思考得出來的結論記憶持久。很多教師在教學過程中為了在有限的時間內講更多的知識往往直接告訴結論，學生被動地去接受，忽略了這一點，那么恰恰就在這一點上讓學生失去了感受數學快樂的機會。

一個是注重思維的跳躍性。如果說注重引導是讓學生思維一步一步的前行，那么跳躍式的思維會讓學生感覺到驚喜。例如，在《概率論與數理統計》的“線性回歸分析”一節中，可以這樣先這樣介紹。“線性回歸分析”也可簡稱為“線性分析”，為什么通常加上“回歸”兩個字？其實這是屬于歷史遺留問題，因為線性分析最初研究的是子女身高和父母身高的關系問題。這可時以直接提問學生：“父母身高比較高的家庭，一般情況下他們孩子的身高會不會比父母身高還要高？即所謂的青出于藍而勝于藍”？很多學生可能說“會”。正確答案是不會。對于這個結論就不要引導學生一步一步的思維了，而是直接給出答案，不會！學生可能會一驚！接下來他們就非常想知道為什么不會，然后教師再接著講課，那么學生聽課的興趣就會大大地提高。所以教師在備課過程中，除了一步一步按邏輯推導之外，還要善于發現經過跳躍性的處理可以達到讓學生驚喜的知識點。

二、運用“對比”的手法備課

中科院院士嚴加安先生在《科學與藝術有共性也有交融》一文中說：“科學和藝術都源于人類的社會和精神活動，在人類歷史上是共濟和互動的，共同譜寫了人類燦爛的文明。在人類早期，還沒有科學，只有技術和藝術，那時的技術和藝術是不可分的。”“后來隨著社會生產力的發展和技術的進步，才逐步產生出科學，即知識體系，科學和藝術才逐步分化開來。”“科學與藝術的相互交融，首先指的是藝術的科學化和科學的藝術化。”[1]數學是科學的一個分支，既然科學和藝術有共性，那么從藝術的角度看待數學和數學教學，則別有一番意味，甚至可以帶給我們很多數學教學中新的啟示。筆者通過教學感悟最多的就是充分、靈活運用對比的手法。因為所有的藝術形式，比如繪畫、歌唱、朗誦、舞蹈等等都有一個共性，那就是對比。例如繪畫中色彩明與暗的對比，舞蹈中動作剛與柔的對比、快與慢的對比，歌唱中聲部高與低的對比，朗誦中講究抑揚頓挫也是這個道理。那么在教學中，充分、靈活運用對比的手法一定會使課堂教學充滿活力。筆者總結大學數學教學中對比的手法包括如簡單與難的對比、邏輯推導與計算的對比、專業內的角度與專業外的角度看問題對比等等。

1. 簡單與難的對比，就是從內容的難易程度上，每節課的內容不要從始至終都難，也不要從始至終都簡單。數學本身的難度是客觀存在的，然而并非所有的知識都難、也有簡單的知識。在教學中教師如何主觀上將難的知識簡單化、將淺的知識難度化，這就需要教師本人的二度創作。教師教學就像一位演員，演員演戲是根據劇本來演，教師教學是根據課本來教，然而一個好的演員是能根據自己的人生閱歷對劇本的人物進行二度創作、讓劇本中的人物生動鮮明的刻畫出來，教師也一樣，如果能將數學中抽象的知識、定理根據自己的感悟給出一個直觀上的理解，那么就會把難的知識簡單化，學生聽課的效果就會好。反之，如果講義中的內容簡單，那么教師要對其細節根據自己所掌握到的知識深入進去，或者將表面的知識進行理論上的升華，這里包括橫向的推廣，或者縱向的延伸。這樣深入淺出、一張一弛的教學方式，讓學生的思維時而緊張、時而松弛，就不會出現整堂課知識太簡單造成的索然無味，也不會出現整堂課太難造成的枯燥乏味。那么無論教師的狀態、還是學生的狀態都會充滿活力。

2. 邏輯推導與計算的對比，就是在內容的安排順序上，盡量安排邏輯推導與計算相間出現，盡量避免整節課都是邏輯推導，或者整節課都是計算。當推導完一個結論之后，安排一個與之相關的計算，這樣的效果會好一些。整節課的理論推導過多，不僅讓學生感覺抽象，而且還會讓學生懷疑這么深的理論究竟在生活中有沒有用。所以在內容的安排順序上，盡量安排邏輯推導與計算相間出現。

3. 專業內的角度與專業外的角度看問題對比，就是許多數學專業中的知識、理論、方法在日常生活中也時有表現，如果教師能把日常生活中的現象與數學知識、理論、方法聯系起來教學，那會大大地增加數學的美感和學習數學的樂趣。當然這需要教師在生活中養成善于思考的習慣，善于在生活中去發現數學。例如我國著名的統計學家許寶? 曾對他的學生說：“當我們看到楊柳的搖曳或是小河流水的流動時，如果要把它們描述成是質點（或分子）集團的變換，那就只能而且必須抽象出‘拓撲變換’（即雙向連續的一到一映射）的概念。這也說明作為描述空間形體最一般變換的幾何學——拓撲學的產生是十分自然的、必然的。”如果當我們仰觀天空看到億多形狀怪異、厚薄不勻的云彩時，設想采用Jordan量度法去度量它的體積，可以想見那顯然是不可能得到精確結果的。而要想從理論上能精確無誤地量出其體積，那就必須采用容許‘可數無限可加性’（所謂σ-可加性）的Lebesgue測度法。這樣看來，人們為了發展無限精度的測量各種點集容積的技藝，Lebesgue測度論的出現也是很自然的事情。”[2]從上面的話中不難看出，許寶? 先生并不只是在數學中研究數學，而且還善于在生活中發現數學。

在《概率論與數理統計》中有很多這樣的知識可以采用這種方法處理。比如，在講到抽樣分布定理時，其中的一個結論是平均數與方差獨立。這個結論的證明其實是很長的，作為講義、書上的內容往往側重于數學知識的邏輯性和嚴謹性。但在教學過程中，教師如果完全按照書上的知識去講，那么就會令聽者感到枯燥，即使聽懂了、給人的感覺也很晦澀。所以在證明之前，如果用專業外、生活中看得見摸得著的例子給學生以直覺上的解釋，那么就會讓學生對這個定理感到很親切、從而有進一步學習證明的想法。每個人經歷不同，筆者根據自己的教學經驗提出這樣一種解釋，僅供參考：雖然方差的表達式中含有平均數，看起來二者不獨立。但是拿高考前多次模擬考試的成績來說，平均數反應的是一個學生多次模擬考試得到的平均成績，而方差反應的是多次考試中成績的浮動大小、離散情況，也就是反應的是成績穩不穩定的問題。我們觀察一下身邊的學生會發現，學習好的學生中有成績穩定的、也有成績不穩定的，而學習不好的學生中也有成績總是穩定不好的，當然也有不穩定的、上下變化的。平均數大小取決于一個人的智商和后天努力，而方差取決于一個人的性格，所以平均數與方差是從兩個不同的角度反映學生的學習狀態，二者是獨立的。從這個例子中看這個結論很顯然，那么在數學中怎么證明平均數和方差獨立呢？拋出問題后，接下來再給以證明，這樣學生就會對數學推理比較感興趣了。

無獨有偶，我國著名詩人陸游也曾對他的兒子說：“汝果欲學詩，功夫在詩外。”中科院院士嚴加安在他的《科學與藝術有共性也有交融》中解釋到：“這個詩外就是詩人對日常生活和大自然細致的觀察、體驗、感知，這是詩歌創作的源泉。作數學研究也與詩歌創作類似。”[1]數學史家克萊因認為：“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉。”從中可以看出如果在數學教學中，教師加入對生活的思考，那么會使得數學課堂充滿生機和活力。

三、在應用中找樂趣

許多歌唱家在接受采訪時表示，他之所以選擇演唱這首作品，首先一點是這首歌曲先打動他自己，然后他再通過自己的演繹去打動觀眾。所以要想讓學生感覺到數學的快樂，對于教師，首先要從自己內心感覺到數學的快樂，然后再通過自己的教學，教出數學的樂趣來;對于學生來講，如果一個知識不僅從道理上明白了，而且在現實應用中還親身感受到了它給自己帶來的變化，那么便會大大地激發學生學習的樂趣。筆者發現現在有相當一部分學生喜歡應用數學、不喜歡理論數學，原因之一是他在數學的應用中找到了樂趣。所以在教學過程中，教師要善于發現自己講授的理論知識在現實生活中的巧妙應用。

在這里筆者以《概率論與數理統計》中的方差概念來舉例說明，僅供參考。很多學生學習數學期望的性質還可以，相比起來，方差的性質就復雜一些。為了引起學生對方差理論的重視，可以這樣引入：“在很多城市的商業街中都有地下通道、地下商場、或者地下停車場，細細觀察會發現，地下商場和地上的步行街相比，它會起到冬暖夏涼的作用。比如在夏天，地上步行街很熱、而地下商場卻很涼快;而到了冬天，地上步行街很冷、而地下商場卻比較溫暖。這種現象和我們通常的認識不大一樣，比如說現在全球氣溫變暖，現在的冬天和過去相比溫度高，同樣現在的夏天和過去相比溫度也在升高。那么為什么地下商場會出現冬天溫度高、夏天溫度低呢？這種現象用數學的概念怎么描述呢？冬暖夏涼的現象在數學中看是怎么回事呢？”通過這個生活中的現象引出方差，告訴學生其實這個問題在概率論中看非常簡單，就是地下商場冬夏溫度的方差小，而地上冬夏的溫度方差大。這就導致了冬天地上更冷、夏天地上更熱的現象。那么方差都有哪些性質呢？這樣引入之后，再推導方差的性質，學生聽起來就會有興致了。

除了教師備課時要注意理論知識的現實應用，在布置作業時注意這一點也會起到很好的效果。比如《概率論與數理統計》中”隨機變量“的定義。自然界和人類社會中的隨機現象成千上萬不止，不可能一一去探討。那么概率論是如何研究的呢？分類。首先把隨機現象的結果和實數集對應起來，也就是建立一個映射，這個映射就是隨機變量。那么以后再討論問題，就可以避開各種隨機現象的具體結果，而直接研究隨機變量的取值了。隨機變量類型很多，每一個類型的隨機變量都對應著一大類自然界和人類社會的隨機現象。比如說兩點分布，凡是一個事件它的取值有兩種可能性，比如說：生男生女、應聘成敗、考試及不及格等等，都屬于兩點分布這種類型的隨機變量。生活中凡是有兩種結果的隨機現象都可以用兩點分布去描述。所以在教學中，除了教師在課堂上舉的例子外，一定要布置一道作業，讓學生列舉一些自己生活的服從兩點分布的隨機變量，越生活化越好、越是身邊的例子越好。其它各類型的隨機變量也是一樣布置作業，一定要讓學生親身感受到每一種類型的隨機變量就是自己身邊的某一類隨機現象。這樣一提到隨機變量，展現在學生腦海中的就不再是枯燥的理論。所以在教學中除了理論之外，如果我們將自己生活中的接觸到的事情及其感受融入到數學的教學中，那么教師帶給學生的就不只是知識本身，可能帶給學生更多的是學習數學的樂趣與動力，這些非智力因素雖然表面上看起來不明顯，但是它對一個學生能否深入地學習往往會起到不可估量的作用。

數學是一門包羅萬象的學科，每一個數學理論的背后都隱藏著學習數學的樂趣。對于同樣的知識點，每個教師對其中內容的感受也是不同的，這個問題因人而異，因為每個人的人生經歷不同，愛好不同、接觸的環境不同。但這恰恰給數學教師提供了豐富的生活土壤，因為它讓我們任何一個人都可以在自己的生活中找到數學的應用。筆者在這里談了自己目前的認知，希望可以起到拋磚引玉的作用，互相交流，讓我們在教學過程中，既教會了知識、又教出了樂趣。

參考文獻：

[1]嚴加安.科學與藝術有共性也有交融[J].科學時報，2011-4-1（B1）.

[2]徐利治.回憶西南聯大時代的老師許寶騄先生[J].道德文章垂范人間（紀念許寶? 百年誕辰），2010.