關于“邊邊角”解三角形解的個數通解公式的探究

劉改玉 趙勵羽

在學習正弦定理時，通過一些討論可以得出“邊邊角”解三角形解的個數[1]，這些討論不免繁雜.因此，有必要探究出“邊邊角”解三角形解的個數的通解公式，即得出y=Φ（a，bA），代入△ABC的a，b，A三個元素，即可求出解的個數.

一些限定條件及對應解的個數如下表所示：

此問題需進行三級討論，不同情況解的個數又有所重疊，也就是說，各條件對解的個數的影響效應不同.這里筆者聯想到了斗地主中的“牌點叫牌法”，具體內容為：“斗地主中主要大牌的牌力定量評價如下：大王4個牌點，小王3個牌點，2是2個牌點，A是一個牌點.叫牌牌力至少7點以上的牌力.” [2]我們可以類比這種方法，設法給不同條件賦予不同點數，設三者點數加起來為d，同時設定集合A兩解，A一解，A無解，.若d∈AN解，則有N解.

得到正確的一組賦點方法以及一組對應點數之和的集合后，我們需要建立映射。即先將條件映射到對應的點數上，再將點數之和的對應集合映射到對應的解的個數上.

設π/2≤A<π為x點，0

a>b為l點，a=b為m點，a

a>bsinA為a點，a=bsinA為b點，a

對照上表，即可得18種情況對應的點數之和.

設：N∈{k}時為兩解，N∈（k，+∞）時為一解，N∈（-∞，k）時為無解.

問題轉化為：求一組符合條件的值x，y，l，m，n，a，b，c，k∈Z，使得下列不等式同時成立.

易知x=-8，y=4，l=10，m=-4，n=-10，a=6，b=10，c=5，k=0是其中一組解.

這里建立映射的基本思想是應用取整函數，從而把實數集映射到整數集上.

經過多種嘗試，筆者得到了第一組條件的映射辦法：.

再由待定系數法確定下一步映射：

為了得到第二、三組條件的映射方法，首先需要建立映射

經過各種嘗試，筆者選用了y=tanhx=

雙曲正切函數非常有利于取整函數的構造.為了使x>0，x=0，x<0時y的值不同，稍加思考，筆者得到

與F（x）相比較，有

需注意，這兩個公式都不能用計算機驗證.當x較大時，tanhx會非常接近1，而計算機會將其近似為1進行下一步計算，從而造成取整錯誤.

為此，我們可以將通解公式中涉及的所有的雙曲正切函數都除以2，讓它的漸近線變為y=0.5和y=-0.5.

通過這樣的探究，能夠發現，求解多級討論問題通解公式的根本辦法是“賦點法”，使通解公式簡潔的策略是更換大方向或建立更先進的映射方法，取整函數能實現從實數集到整數集的映射，應用計算機編寫程序時應注意

參考文獻：

[1]劉紹學，李建華等.普通高中課程標準實驗教科書 數學5 必修 A版[M].2007年1月第3版.北京：人民教育出版社，2007.8-9.

[2]佚名.斗地主（撲克牌游戲）_百度百科[DB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E6%96%97%E5%9C%B0%E4%B8%BB/177997？fr=aladdin，2018-09-02/2019-11-09.]計算機只能精確到小數點后有限位.