三角函數問題中化歸法的運用

張春

摘 要：在解決問題的進程中，數學常常不是直接解決原問題，而是對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個（些）已解決的問題，或容易解決的問題。把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另外一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這類解決問題的方法，我們稱之為化歸法.。

關鍵詞：轉化；化歸法；三角函數

一種好的數學解題法能化繁為簡，化難為易；有較強的規律性；能產生新的"子方法"。"化歸法"就是這樣的方法之一。所謂"化"，指化解或轉化：將一個問題化解為幾個小問題；將這類問題轉化為另一類問題；所謂"歸"，指歸于最簡單的問題，或歸于原問題，或歸于基本定律定理。化歸法在數學學習中廣泛地使用到。

今天，高考已經成為我們生活中的一件大事.高考不僅僅是一門競技比賽，它同樣是一門藝術，研究高考就要從歷年的高考試題入手，將其進行分類歸納總結，并通過高考試題窺探高考動向，總結高考規律，從而真正的征服高考，把握住自己的命運.而在數學考試中，勝算的最主要因素不只是堅實的基礎，更重要的是建立在一定基本功和能力基礎上的那種做題的“方法和技巧”.

化歸是一種重要的數學思想所謂化歸是指將一個生疏、復雜的問題轉化為熟知、簡單的問題來處理的一種思維方法.即把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法.

化歸法是數學家們常用的一種方法，也是數學方法論中研究的基本方法之一.實際上，中學數學中，化歸方法的應用，無處不在。

近幾年高考已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點轉移到對三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能的考查上來 .在考查三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數的性質及圖象的變換，降低了對三角函數恒等變形的要求，加強了對三角函數性質和圖象的考查力度.三角函數的命題趨于穩定，今后幾年高考可能依然會保持原有的考試風格，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎題、中檔題、常規 題.實施新課標后，新一輪基礎教育的改革增添了與現代生活和科學技術發展相適應的許多全新的內容，它們會吸引命題者關注的目光.

經分析，三角函數試題可以歸納為以下幾種典型題型：

1、三角函數的概念及同角關系式

此類題主要考查三角函數誘導公式及三角函數的符號規律.解此類題注意必要的分類討論以及三角函數值符號的正確選取.

例：（全國I卷理2）記 ，那么 （）

評注：本小題主要考查誘導公式、同角三角函數關系式，并突出了弦切互化這一轉化思想的應用.同時熟練掌握三角函數在各象限的符號.

2、三角函數的化簡求值

這類題主要考查三角函數的變換.解此類題應根據考題的特點靈活地正用、逆用，變形運用和、差、倍角公式和誘導公式，進行化簡、求值.

例：（重慶文數15）如題（15）圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線 ，各段弧所在的圓經過同一點 （點 不在 上）且半徑相等.設第 段弧所對的圓心角為 ，則 ____________

評注：本題以過同一點的三段圓弧為背景，考查了三角恒等變形中公式逆用的基本技巧，將已知與求解合理轉化，從而達到有效地求解目的.

3、 的圖象和性質

圖像變換是三角函數的考察的重要內容.解決此類問題的關鍵是理解 的意義，特別是 的判定，以及伸縮變換對 的影響.

例：（全國卷2理數7）為了得到函數 的圖像，只需把函數 的圖像（ ）

（A）向左平移 個長度單位 （B）向右平移 個長度單位

（C）向左平移 個長度單位 （D）向右平移 個長度單位

評注：本題主要考查三角函數的圖象變換中的平移變換、伸縮變換，特別是函數 中的 對函數圖象變化的影響是歷年考生的易錯點，也是高考的重點.

4、三角形中的三角函數

此類題主要考查在三角形中三角函數的利用.解三角形的關鍵是在轉化與化歸的數學思想的指導下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角 形的面積公式及三角形內角和等公式定理.

例：（天津理數7）在△ABC中，內，B，C的對邊分別是a，b，c，若 ，則A=（）

（A） （B） （C） （D）

評注：解三角形的基本思路角A是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或將角化為邊運算.

通過恰當地使用正弦、余弦定理將有關的邊角確定，從而解決問題。

.5、三角應用題

此類題主要考查三角函數實際應用.解決三角應用題的關鍵是認真閱讀題目，正確理解題意，運用所學知識建立適當的三角模型，準確無誤的計算等.

例：（北京文7）某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，

頂角為 的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）

（A） ；（B）

（C） （D）

評注：本題主要考查解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想.

6、三角函數的最值及綜合應用

此類問題主要考查三角函數最值和與三角函數有關學科內綜合問題，如與平面向量、不等式、數列、解析幾何等相結合。多為解答題。而三角形中三角函數最值問題仍將是高考的熱點.如：

例：（湖南文數16.）已知函數 .

（I）求函數 的最小正周期；

（II） 求函數 的最大值及 取最大值時x的集合.

評注：本小題依托三角函數化 簡，考查函數值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數變換.

分析近年高考試卷，可以發現，三角解答題多數喜歡和平面向量綜合在一起，且向量為輔，三角為主.主要可歸結為以下三類：

一、運用同角三角函數關系、誘導公式、和、差、倍、半等公式進行化簡求值類.

例13.已知向量

.

（1）若 ，求 的取值范圍；

（2）函數 ，若對任意 ，恒有 ，求 的取值范圍.

二、運用三角函數性質解題，通常考查正弦、余弦函數的單調性、周期性、最值、對稱軸及對稱中心.

例14.若 ，在函數 的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為 ，且當 時， 的最大值為1.

（1）求函數 的解析式；

（2）若 ，求實數x的值.

例15.已知向量

（1）求 的值；

（2）設函數 ，求x為何值時， 取得最大值，最大值是多少，并求 的單調增區間.

例：設向量 .

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）若函數 ，求 的最 小值、最大值.

三、解三角形問題，判斷三角形形狀，正余弦定理的應用。

例：已知函數 .

（I）將 寫成 的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；

（II）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b2= a c，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數 的值域.

例：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知向量 ，且 .

（1）求角 的大小；

（2）若 ，求角A的值.

總之，三角函數的小題涉及三角函數的所有知識點，因此，熟練掌握公式和性質是解好小題的必要條件，在日常訓練中一定要改掉學生邊做題邊看公式的壞習慣.再者，填空題答案書寫的規范也需反復強調.

三角函數解答 題題往往是高考數學試卷的第一道解答題，試題難度一般不大，但其戰略意義重大，所以穩拿該題12分對文理科學生都至關重要.

掌握化歸的思想方法對數學學習有側重要的意義.總之，化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答. 化歸法的原則

（作者單位：重慶市萬州第二高級中學）