數無形時缺直覺，形無數時難入微

王家強

課堂上我布置一道來自于課外參考書《2013百題大過關第一關》的解析幾何題目：

已知拋物線的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F2，則該雙曲線的離心率為__________

拿到這題有學生們采用代數方法進行求解，如下：

設兩曲線交于點，則

由韋達定理得：

由圖形的對稱性可得：兩曲線的兩交點A、B滿足軸，，所以但后面的參考答案是用幾何法進行解答，如下：

依題意得：

如圖，由圖形的對稱性可得：兩曲線的兩交點A、B滿足軸

對于雙曲線來說，對拋物線來說，

學生們感到納悶：我的解法錯在哪里？于是，學生就拿這個問題來問老師我。

學生的解法在我的教學設計之外，但憑借多年的教學經驗我不置可否。

我微笑地反問學生：

學生說：，故x1、x2異號，與矛盾！故這個解法是錯誤的?！?/p>

老師的點拔雖讓學生知道了他的這個解法過程中是錯誤的地方，但學生心中一直有個疑惑：從方程算出來的，與圖1中的呈現出來的結果竟然不一致？若x1代表點A、B的橫坐標，則x2不是點B的坐標，，那x2究竟代表什么？

老師提醒說：“你不妨在復數范圍考慮這個問題”。

于是，學生在復數范圍內討論這個問題。

根據圖形的對稱性，設

設x2是（*）方程的另一個根，由韋達定理得：，又拋物線與雙曲線共焦點得：，代入上面兩式，可得

，因而x2是個虛根。

兩邊同除以，得：

因為雙曲線的離心率e>1，所以（舍去）

雖然用代數方法把答案求出來了，跟參考答案一樣，但這個過程中伴隨著另個離心率出現，不僅引起我的遐想：這個問題似乎跟橢圓還有一定關聯！莫非虛根就是橢圓上，且它是橢圓和拋物線方程聯立組成的方程組的實數根？同時，這個橢圓與雙曲線有特別關系？

鼓勵學生畫出圖2情形，緊鑼密鼓地進行下列運算企圖

驗證自己的“發現”是正確的。

相對比可知：橢圓與拋物線的方程聯立組成的方程的兩個根恰好是雙曲線與拋物線的方程聯立組成的方程的兩個根的相反數。

再回顧剛開始時的解法，學生發現用韋達定理得到是正確的，只是并非是點B的坐標，卻誤把它直接當成點B的坐標造成結果錯誤。這里的x2是個“虛根”！在圖2中體現為“一對共頂點的橢圓和雙曲線”中橢圓與拋物線的交點的橫坐標，其中橢圓的離心率，雙曲線的離心率。

解決本題時“虛根”雖給學生惹下很大的一個“禍”?。ㄗ屪约喊驯绢}解錯了），給學生帶來暫時的、很大的困惱，但學生樂于迎接這樣的挑戰！我從中得到如下感悟：

（1）本題雖比較適合于用幾何解法，數形結合較輕松，但代數解法卻告訴了我：采用聯立方程和韋達定理進行解題，要當心二元二次方程中虛根的存在，要進一步理解“以數解形”的完備性;

（2）用代數方法來解決這樣問題可以很好開拓自己的視野，完備自己的知識，培養自己的創新思維。因為它站在系統的高度，很完美、較復雜，但散發著問題的本質，能深化我們對圓錐曲線是個統一體的本質理解;

（3）再次體驗華羅庚的名言：“數無形時缺直覺，形無數時難入微”。今后我們在解數學題時應強化自己數形結合方法的應用意識。