基于模式識別下等腰三角形的分類討論

何風強

摘要：分類討論思想是一種將研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干個小問題來逐一研究解決的數學思想。在數學習題的解決中，運用等腰三角形的分類討論思想也是比較常見的，而從等腰三角形邊的角度進行分類討論，對于在模式識別下解決等腰三角形的存在性與確定性問題是起關鍵性作用的。

關鍵詞：模式識別;等腰三角形;分類討論;解題

在平時數學教學中，我發現學生在學習等腰三角形的分類討論問題時，存在一定的困惑，即在一條已知直線上，如何確定一點和與該直線不共線的一條線段的兩端點構成等腰三角形。為了讓更多的學習者能更深入地理解并掌握此類問題的解決方法，我將從一道數學習題的解析展開研究，進而確定“等腰三角形按邊分類討論”的一種模式，再結合典型例題進行模式識別和模式的應用。所謂模式識別，就是當主體接觸到數學問題后，首先要辨別題目的類型和所給條件，再結合已有知識和經驗，將問題分解歸類，從而產生摩擦，最終生成新問題的解決方法。

一、“等腰三角形按邊分類討論”模式的構建

例1如圖1，已知線段AB，在直線CD（與線段AB不共線）上找一點P，使得AABP為等腰三角形。

解析：因為要使AABP為等腰三角形，即從邊的分類討論有三種情況：①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP。找出符合題意的點P如下：①如圖2，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓（?。┙恢本€CD于點P，連接AP和BP，此時AB=AP，即AABP為等腰三角形;②如圖3，以點B為圓心，AB長為半徑畫圓（弧）交直線CD于點P，連接AP和BP，此時AB=BP，即AABP為等腰三角形;③如圖4，分別以點A、B為圓心，AB長（或大于1/2AB長）為半徑畫圓（弧）交于E、F兩點，并過E、F作直線EF（即為線段AB的垂直平分線）交直線CD于點P，連接AP和BP，此時AP=BP，即AABP為等腰三角形。

在例1中，從等腰三角形的定義入手，結合分類討論思想，易知有三種情況，即三角形的任意兩邊相等，然后考慮找出符合題意的點P，圖2和圖3結合畫圓或弧交直線CD于點P，利用半徑的相等性構造等腰三角形，而圖4是作線段AB的垂直平分線交直線CD于點P，并利用垂直平分線性質構造等腰三角形。

因此，我通過例1構建了“等腰三角形按邊分類討論”模式，即任意兩邊相等的三角形是等腰三角形，分三種情況進行考慮研究，而找出等腰三角形的第三個頂點的做法是畫圓（弧）法和作垂直平分線法。

二、從模式的構建，再到模式的識別

例2是對“等腰三角形按邊分類討論”模式的直接識別，雖然問題情境是三角形，但找出點P的方法是一樣的，由三角形任意兩邊相等構成等腰三角形進行分類討論，依舊是存在三種情況，對于作圖之后的問題解決就思路清晰了，從中我們還可以提煉出三種解題依據或方法，第一種是根據等腰三角形的“三線合一”求解，第二種是根據“等量代換”直接求解，第三種是根據“勾股定理”求解，此三種解題方法也是后續解決此類問題的突破性方法。

思考題：在平面直角坐標系中，四邊形0ABC為長方形，O為坐標原點，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在線段BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標。（此題僅作思考）

解：略。

只要我們能善于識別出這個“等腰三角形按邊分類討論”的模式，并靈活應用到幾何解題中，那么就一定能順利而且有效地解決此類問題。同樣，我也希望通過對這種識別方法的闡述與應用能對學習者有所啟發，模式只是提供了一種相對穩定的樣本，既非萬能又非一成不變，當遇到一個新的、更深刻或非常規的問題時，我們需要轉化或者分解問題，還需要對模式加以補充，創造出更多或更高層次的模式，逐漸進入得心應手的境界。

最后，我想借張奠宙先生的一段話來結尾，即：“欣賞外表直觀之秀，內涵深刻之慧，文化底蘊之濃，理性思考之精，也許這就是數學欣賞的普遍規律?！?/p>

（責編：侯芳）