一類高考數(shù)列壓軸題的新解法

徐哲堅(jiān)

摘 要：用函數(shù)的觀點(diǎn)來看數(shù)列的遞推公式an+1=f（an），將數(shù)列這樣的離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量來研究，從而將數(shù)列特征的判斷轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)的研究，進(jìn)而引進(jìn)單調(diào)性，值域，導(dǎo)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)和工具解決一類高考數(shù)列壓軸題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想;數(shù)列;高考?jí)狠S題

在函數(shù)思想下，數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f（n）可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或其有限子集{1，2，…，n}的函數(shù);數(shù)列的遞推公式an+1=f（an）同樣可以看成是定義域?yàn)閧ak|k∈N*}或{ak|k∈1，2，…，n}的函數(shù).從而，函數(shù)中的方法和工具也可以用來解決數(shù)列問題.

下面主要來討論函數(shù)思想在高考數(shù)列壓軸題中的應(yīng)用.

例1（2011年高考重慶卷理，21）設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足.

（I）略;

（II）求證：對(duì)有.

分析：由，得遞推公式.令，易得，其中sup表示集合的上確界，inf表示集合的下確界，本文中的上下確界都可以用上下界取代.因此函數(shù)的值域可以用來估計(jì)數(shù)列{an}的上下界.

證明：由，得，即.

又因，有.

令，由判別式法知f（x）的值域?yàn)?

由，得（k≥2）

又因?yàn)椋吹脤?duì)任意k≥3，有，結(jié)論得證.

點(diǎn)評(píng)：從例1的證明過程中，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論（II）對(duì)任意的k≥2都成立.

用函數(shù)的觀點(diǎn)來看數(shù)列的遞推公式，用對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域估計(jì)數(shù)列的上下界是解法的關(guān)鍵.實(shí)際上，從第二項(xiàng)開始，數(shù)列中的項(xiàng)所構(gòu)成的集合是對(duì)應(yīng)函數(shù)值域的一個(gè)子集.直接用函數(shù)值域的最值作為數(shù)列的上下界在某些題目中并不是一個(gè)理想的估計(jì).但在例1中，對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值恰好與要證的上下界一致.

例2（2012年高考安徽卷理，21）數(shù)列{xn}滿足x1=0，.

（I）證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0;

（II）求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列.

分析：數(shù)列{xn}的遞推公式顯然對(duì)應(yīng)一個(gè)一元二次函數(shù).由例2歸納法的證明過程知，數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的充要條件為：x1≤x2，且y=f（x）在上單調(diào)遞增.

證明：（I）略;

（II）由（I）知，若{xn}是遞增數(shù)列，c≥0.當(dāng)c=0時(shí)，顯然xn=0，{xn}為常數(shù)列.令，由二次函數(shù)的性質(zhì)知.又由和，得.因?yàn)椋@然.由例2中的歸納過程可知{xn}是遞增數(shù)列的充要條件是：f（x）在上單調(diào)遞增，即.解得.

點(diǎn)評(píng)：首先注意到問題（II）中要求的c的范圍是使{xn}是遞增數(shù)列的充要條件.因?yàn)楸绢}中數(shù)列的遞推公式是一個(gè)二次函數(shù)，可知數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的充要條件為x1≤x2，且y=f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增.從而將數(shù)列的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的單調(diào)性討論，而二次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題都是我們非常熟悉的內(nèi)容.

實(shí)際上用函數(shù)的觀點(diǎn)來看數(shù)列的遞推公式an+1=f（an），最大的優(yōu)點(diǎn)就是能將數(shù)列這樣的離散型變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)型變量來研究.而連續(xù)型變量，特別是初等函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)俱有相當(dāng)完備的理論體系，從而簡化了構(gòu)造的難度，使解題思路更為開闊.

參考文獻(xiàn)

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[2]天利全國高考命題研究中心.2011全國各省市高考試題匯編全解.西藏：西藏人民出版社，2011