高中數學課堂習題的設計初探

何芬芬

學習數學離不開習題，習題不僅能夠深化對知識和方法的理解和掌握，體會各部分各章節數學知識的內在聯系，而且能夠培養和發展學生的基本數學能力，能使學生學會獨立思考，培養創新意識，使學生的數學創造能力得到發展，現對高中數學課堂如何設計習題提出幾點看法。

一、習題設計應注重問題情境的設置

數學解題思維活動始于問題情境，讓學生從問題及其情境中接受信息，從已知狀態一步一步走向目標狀態。在習題設計中應營造“問題解決”的氛圍，使學生身臨其“境”，對新的問題產生敏感，激發他們的思維火花，盡快進入迫切“問題解決”的思維狀態。例如，在講述必修四的《三角函數》中可設計下面習題：已知某海濱浴場的海浪高度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，記作y=f（t），下表是某日各時的浪高數據。

經長期觀測，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數y=Acosωt+b。

（1）求函數y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數表達式。

（2）依據規定：當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）的結論，一天內的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行。

解：（1）由題意可知2T=24

∴T=12= 解得 = 而振幅A=（1.5-0.5）÷0.5

∴y=0.5cos t+b 又當t=0時y=1.5

∴0.5cos0+b=1.5得b=1

∴y=0.5cos t+1

（2）由0.5cos t+1>1得cos t>0

∴2kπ- < t<2kπ+

解得：12k-3

∴可供沖浪者進行運動的時間為上午9：00時至下午15：00，共6小時。

如此設計可將所學三角函數的知識應用于實際生活中，有效地調動了學生思考的積極性，鞏固強化了學生的思維能力，從而充分發揮出習題教學的應有功能和價值。

二、習題設計應注重階梯延伸性的設置

學生掌握新知識是從模仿開始的，而且應有一個必要反復過程，才能達到新知識的穩定。若老是停留在模仿的機械重復階段，學生自然感到枯燥乏味，覺得有勁沒處使，形成思維的惰性，所以，在設計習題時要根據教學內容和學生的實際及個人的認知規律，使習題有的放矢，循序漸進，逐級而上，完善知識。例如，講述函數單調性時可設計以下兩道習題。

例題一：證明函數f（x）=x+ 在（0，1）上是減函數。

證明：任取x1， x2 ∈（0，1），且x1 < x2 則 x1-x2 <0

f（x1）-f（x2）= （x1+ ）-（x2+ ）=（x1-x2）+（ - ）

﹦（x1-x2 ）+

﹦（x1-x2） +（1- ）

=

∵0

∴ x1x2-1<0，故f（x1）-f（x2）>0.

∴f（ x2）< f（x1）

∴函數f（x） =x+ 在（0，1）上是減函數。

例題二：判斷函數f（x）=x+ （p>0）的單調性。

解：任意取x1， x2∈（0，+∞），且x1< x2則f（x1）-f（x2）= x1+

-（x2+ ）=（x1- x2）+ =（x1- x2 ）·

要判定此式的正負只要確定x1x2與p的大小，由于x1，x2的任意性，考慮到要將（0，+∞）分為（0， ）與（ ，+∞）。這

樣，學生在分析解決例2的過程中必然會聯想到例1的求解過程。這一過程并非完全簡單的重復，在例2的新情境下，鼓勵學生嘗試如何在原有的認知結構基礎上進行重新建構，體驗如何利用原有的認知經驗來解決新問題的數學化歸思想，完成知識階梯的上升和延伸。

三、習題設計應注重開放性

學生解題時思維常存在定勢，為了打開思維的禁錮，在習題設置中應增加開放性，這樣可以培養學生思維的深刻性和靈活性，克服思維的呆板性，提高解題能力。例如講述《解三角形》時可設置下面例題。

例題，在△ ABC中，已知角A，B，C所對的邊長為a，b，c，若a= ，b= ，A= 45°求邊長c。

解法一：在△ABC中，根據余弦定理可得

a2=b2+c2―2bccosA，即c2- c-6=0，∴c= ±3.

∵c>0，∴c= +3

解法二：在△ABC中，由正弦定理，得

SinB= = = ∵b

∴B=30° C=180°-A-B=105°

∴sinC=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°

=

∴c= = = +3

四、習題設計應注重典型案例分析及題后反思

數學解題是一種創造性活動，誰也無法教會我們全部的題目，最重要的是通過有限的典型習題學習去領悟那種解無限道題的數學機智。這就需要典型案例設計及題后的反思。分析典型的習題或自己的解題是一種“案例研究”，可以幫助我們樹立一種觀念，明白一個道理，學到一種方法。數學解題案例滲透著對特定數學問題的深刻反思，揭示了數學解題實踐的經驗與方法，蘊涵著一定程度的理論原理，是了解數學解題教學的窗口，是數學問題解決的源泉，是數學解題理論的故鄉?，F代認知心理學告訴我們：解題訓練必須與反省認知相結合才能達到良好的遷移效果。解題之后進行反思，是提高數學思維能力的有效方法。解題反思，不僅要反思計算的正誤、方法的優劣、題目的推廣，習題是否做到了重點突出、難點有效突破等，還要從思維的“視角”引導學生反思解題所用的知識，解題的思維起點、層次和規律，從根本上提高了學生的數學解題能力。