對微積分中無窮小量的一點探討

李玉榮

摘要：通過無窮小量的發展歷史可以看到無窮小量在微積分中占有十分重要的地位，而對于無窮小量可以比較它們收斂于零的速度快慢，尤其是等價無窮小量在求極限的過程中發揮著重要作用。

關鍵詞：無窮小；微積分；極限

1、無窮小的發展歷史

人們對無窮小的認識經歷了一個漫長的過程，直到十八世紀，仍然沒有較完善的解釋無窮小概念。由于微積分的誕生不是嚴格按照“邏輯線路”生成的，包括牛頓和萊布尼茨本人都對微積分的那個“微小量”的處理是否合法產生過懷疑，許多人也發現了那個“微小量”在邏輯中產生的悖論，以至于被嘲諷為“無窮小精靈”。無窮小是什么，無窮小究竟能不能是零，我們怎樣確切地描述它，這些問題引起了數學界乃至哲學界長達一個半世紀的爭論，并引發了第二次數學危機。

比較著名的芝諾悖論可以看作是此次危機的萌芽：跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注于微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

2、無窮小的重要性

無窮小量在微積分中占有十分重要的地位，如果將微積分比喻為一座大廈，那無窮小就存在于每一塊磚石之中，無法將其分離。正確理解無窮小量的概念有助于理解微積分的本質。從微積分的產生到無窮小概念的建立，這個歷史過程生動地表明：一種新的數學方法，不能長期停留在形象直觀的階段上，必須在不斷深化認識的基礎上，由定性認識轉化為定量認識，形成概念和理論的系統，否則，就不可能做出科學的抽象，也不可能適應社會經濟以及數學自身發展的需要。

3、無窮小的比較

對于一對函數而言，它們在某一點的極限可能都是無窮小，但是趨近于零的速度卻有快有慢，有的快一些有的慢一些，那么，我們要怎樣比較這種快慢呢？

我們知道，誰趨近于零，誰的絕對值就越小。所以比較α、β趨近于零的快慢就可以用除法。只要兩個數一相除，那么它們的相對大小就比較出來了，由于它們是動態的函數，只要時時刻刻滿足這個規律，這個關系就不會變。另外由于這兩個函數是同一極限過程中的無窮小，那么由相對大小就可以比較出誰更快的接近于0了。

4、等價無窮小量

無窮小量是指某變化過程中極限為0的變量。而等價無窮小量是指在某變化過程中比值極限為1的兩個無窮小量。等價無窮小量在求極限問題中非常重要。恰當的使用等價無窮小量代換常常使極限問題大大簡化，但是有時卻不能使用等價無窮小量代換。

例如在有加減的情況下不能隨便運用等價無窮小代換求極限，問題在于兩個無窮小相加減可能因為低階部分相消而變成更高階的無窮小量。

例如：

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.高等數學第七版.高等教育出版社.2014年7月

[2]華東師范大學數學系編. 數學分析第四版. 高等教育出版社. 2010年7月

（武警警官學院 基礎部 四川成都 610213）