含參數的不等式恒成立問題

姚婭琪

摘要：由于不等式恒成立問題往往都可以轉化為函數的最值問題，本節課應用不等式恒成立問題的常見類型，引導學生體會轉化與化歸、數形結合、分類討論等數學思想，由淺入深，由簡到難，探討如何來解決這類問題，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞：參數不等式最值

教材分析：

不等式恒成立問題是近年高考的熱點問題，交匯函數、方程、不等式和數列等知識，有效地考查學生的邏輯推理和邏輯思維能力等綜合應用能力，所以也是難點，學生的得分率相對較低。

教學目標

知識與能力：

學會含參數不等式恒成立問題向函數最值問題的轉化，會求一些簡單函數的最值。

教學過程與方法：

通過實例探討研究，體會數學從已知到未知，從數到形、從簡單到復雜，以及參變分離中的轉化與化歸、數形結合、分類討論等思想。促進學生的理性精神，讓學生具有分析問題和解決問題的能力。

情感態度與價值觀：

培養學生的探究精神，體會事物之間既可以相互轉化同時又具有統一性的辯證唯物主義思想。

教學重點：不等式恒成立問題的解決方法以及求函數的最值問題。

教學難點：滲透轉化和化歸思想到數學學習內容和解題過程中，對含參數不等式的恒成立問題的轉化。

教學課時：1課時

教學過程：

一、思考討論，合作交流

【設計意圖】用數形結合方法不能做出函數圖像，形成認知沖突，激發學生的學習興趣，使學生有目的的進行轉化，并輕松的解決求最值問題。

三、應用探究，觸類旁通

思考2：該題是以一種函數的形式給出的，你還可以把這道題改變為其它形式嗎？（讓學生改編）

本題能否用數形結合呢？大家發現函數的圖像不易做出來。那么我們該怎么做呢？

學生先自己解決，在學生求最值有困難時，我做以下復習：

應用導函數求函數最值的步驟：

求函數定義域為先，導數為零根求見，無根全域增或減，有根標在數軸間，根分定義域為區間，列表增減極值現，極值和端點值求遍，最值就在這里邊。

【設計意圖】讓學生自己發現數形結合是應用于圖像便于做出的函數中的，當發現圖像不易做出時，就要構造函數求最值，此時，有些同學可能對應用導數求最值的過程與方法有些困難，而編成口訣使學生朗朗上口，更容易掌握。

【設計意圖】引導學生經過分析，將未知轉化為已知，其中也體現了轉化和化歸的思想，同時提醒學生，在平時的學習中要學會將類似的題目進行比較和歸納。

四、課堂小結：

1、合理轉化：對于 或 形式呈現的恒成立問題，我們可以構造新函數，利用導數在求解函數最值的優越性，從而輕松、簡捷地解決相應問題.

2、等價結論

3、數學思想和數學方法：轉化與化歸，數形結合，分類討論。通過構造函數判斷其單調性、求函數的最值。

五、課堂練習：已知函數 ，若 ?恒成立，求實數 的取值范圍。

六、課后作業：

已知函數 ，若 恒成立，求實數 的取值范圍。

七、課后延伸

做完該題后，你能總結做這類題的模型嗎？

【設計意圖】通過課堂練習課后作業和課后延伸，給學生一些思考的空間，讓學生學會自主學習，為終身學習打下良好的基礎，養成良好的數學學習習慣，不斷提高數學學習素養。

參考文獻：

[1]羅增儒 ?基于核心素養的教學研修——在“核心素養背景下數學教師的專業發展”（南京）會議上的發言（整理）中學數學教學參考（上旬） 2018年第9期

[2]田曉霞“導數的綜合應用——不等式恒成立問題的一種常見類型”的教學設計 中學數學教學參考（上旬）2018年第9期

[3]陳時見 課堂學習論 ?廣西師范大學出版社 ?2005.2