“九連環(huán)”里有“大學(xué)問”

姚從昌

摘要：我嘗試著從數(shù)學(xué)中“數(shù)”的角度來研究“九連環(huán)”，每練習(xí)一次，就用筆記錄下來……一位同學(xué)感慨地說：“老師，我發(fā)現(xiàn)剛才我們用到了尋找數(shù)規(guī)律的方法，還用到了時間單位的轉(zhuǎn)換，最后還運用了估算，小小的“九連環(huán)”里面真是藏著‘大學(xué)問’哪！”

關(guān)鍵詞：益智器具;九連環(huán);解環(huán);上環(huán)

正文：益智器具，顧名思義，是指有益于開發(fā)心智的小玩具。就拿小小的“九連環(huán)”來說，要想玩轉(zhuǎn)它，亦需動手燒腦，頗費一番周折呢。但玩在其中，學(xué)在其中，也樂在其中，所以，益智器具“九連環(huán)”課程在我們班級一推出，就受到了學(xué)生的極大歡迎。課堂上，同學(xué)們凝神屏氣，巧手翻飛，收獲著探索的快樂和成功的喜悅。

教學(xué)相長，授之以魚，莫若授之以漁。作為一名數(shù)學(xué)老師，又是學(xué)校“九連環(huán)”益智器具課的主教老師，我巧妙地把數(shù)學(xué)思維引入教學(xué)中，提前鉆研，一遍遍地練習(xí)推算，把“九連環(huán)”的解法徹底吃透摸清，終于成功實現(xiàn)了用最少步驟進(jìn)行解環(huán)和上環(huán)。

我嘗試著從數(shù)學(xué)中“數(shù)”的角度來研究“九連環(huán)”，每練習(xí)一次，就用筆記錄下來，幾次統(tǒng)計后，我驚奇地發(fā)現(xiàn)“九連環(huán)”解環(huán)成功都需要256步。我查閱了有關(guān)資料進(jìn)行驗證，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的算法都是341步。85步之差，問題到底出在哪里？通過反復(fù)比較，我發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的算法是把第一環(huán)和第二環(huán)同時拆裝看做兩步;而我則是把第一環(huán)和第二環(huán)同時解下看做一步。原來殊途同歸，原理相同，僅在計算方法上存在差異。

緊接著，我對每一個解環(huán)過程做了進(jìn)一步的推算，竟然發(fā)現(xiàn)小小的“九連環(huán)”深藏著有趣的規(guī)律性。從奇數(shù)連環(huán)入手，我發(fā)現(xiàn)解一連環(huán)需1步，解三連環(huán)需4步，解五連環(huán)需16步，解7連環(huán)需64步，而解九連環(huán)需256步，即每增加兩連環(huán)步數(shù)需要乘4。如果是偶數(shù)個連環(huán)，解二連環(huán)需1步，解4連環(huán)需7步，解6連環(huán)需31步，解8連環(huán)需127步，每增加兩連環(huán)步數(shù)乘4加3。如圖：

如此，就可輕易地推導(dǎo)出解每個環(huán)的步數(shù)公式。即解一連環(huán)為2的0次方，三連環(huán)為2的2次方，解五連環(huán)為2的4次方，解七連環(huán)為2的6次方，解九連環(huán)為2的8次方，用公式表示為：S= ?（n為奇數(shù)）;偶數(shù)個連環(huán)時，解的步數(shù)為上一級奇數(shù)連環(huán)環(huán)的步數(shù)除以2減1，是下一級奇數(shù)連環(huán)的步數(shù)乘2減1，我們可以用公式來表示：S= ?-1 ?（n為偶數(shù)）。

后來，我又經(jīng)過深思熟慮從其他角度，又可推演出新的計算公式：S= ?（n為奇數(shù)），S=2 -1 ?（n為偶數(shù)） 。

推導(dǎo)出以上兩種公式，心中豁然開朗，小小的“九連環(huán)”原來和數(shù)學(xué)有著如此密切又深遠(yuǎn)的聯(lián)系。但面對小學(xué)六年級的學(xué)生，對完全平方數(shù)理理解尚不深不透，如何把此間的關(guān)系明白透徹地教給學(xué)生，引導(dǎo)他們合理推算，積極探索，享受發(fā)現(xiàn)的快樂，而不是“填鴨式”地硬塞硬灌，又是教學(xué)方式上面臨的一個問題。

我決定利用學(xué)生熟知的統(tǒng)計表尋找規(guī)律的方式靈活進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)我們統(tǒng)計出解下五連環(huán)的步數(shù)是16時，學(xué)生很快就推算出：七連環(huán)的解下步數(shù)是五連環(huán)步數(shù)的4倍，即16×4=64，九連環(huán)的解下步數(shù)是七連環(huán)的解下步數(shù)的4倍，即64×4=256。在算六連環(huán)，八連環(huán)的解下步數(shù)時，學(xué)生遇到了一些困難，但是也能推算出來六連環(huán)的解下步數(shù)是解五連環(huán)步數(shù)的2倍減1，即：16×2-1=31，八連環(huán)的解下步數(shù)是解七連環(huán)步數(shù)的2倍減1，即：64×2-1=127。

舉一反三，緊接著，我引導(dǎo)學(xué)生嘗試推算，解下“十連環(huán)”最少需要的步數(shù)。學(xué)生們立刻計算出來：256×2-1=511，接著追問，解下“十一連環(huán)”最少需要多少步？學(xué)生也能計算出：256×4=1024……解下“十五連環(huán)”最少需要多少步？256×4×4×4=16384……解下“十九連環(huán)”最少需要多少步？16384×4×4=262114，當(dāng)學(xué)生算出后，面對如此大的數(shù)字，禁不住連連驚嘆。

我進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，按照班里學(xué)生最快的速度——田佳欣用時4分23秒（比吉尼斯世界紀(jì)錄3分57秒僅慢30秒），解“十九連環(huán)”需用多長時間？學(xué)生馬上開始算起來：4分23秒等于263秒，263秒完成256步，大約1秒解下1步。一共用時：262114÷60÷60≈73（時），不吃不喝不休息，手以最快的速度，還不出現(xiàn)錯誤的前提下，比3天的時間還要長……當(dāng)學(xué)生算出來以后，像發(fā)現(xiàn)了新大陸似的，教室內(nèi)瞬間氣氛爆棚，學(xué)生的情緒完全被點燃，每個人都沉浸在探索的快樂中。

總結(jié)發(fā)言時，一位同學(xué)感慨地說：“老師，我發(fā)現(xiàn)剛才我們用到了尋找數(shù)規(guī)律的方法，還用到了時間單位的轉(zhuǎn)換，最后還運用了估算，小小的“九連環(huán)”里面真是藏著‘大學(xué)問’哪！”

是啊，豈止小小的“九連環(huán)”里面有“大學(xué)問”，其他益智器具里面也有“大文章”，只要我們善于觀察，勤于動腦，就能發(fā)現(xiàn)益智器具與數(shù)學(xué)的結(jié)合點，就能發(fā)現(xiàn)益智器具里面數(shù)學(xué)的奧秘，最終實現(xiàn)學(xué)生智力和思維能力提高的目的。

本文為聊城市教育科學(xué)規(guī)劃課題《基于中國傳統(tǒng)益智器具教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)思考力培養(yǎng)的實踐研究》（課題立項編號為：LJ1901015 ）的階段性研究成果。