初高中數(shù)學(xué)教材銜接的部分試題剖析

潘麗欽

摘 要：用黨的十九大精神統(tǒng)領(lǐng)高考命題，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新精神，實(shí)踐能力的培養(yǎng)。由于初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容上存在一些空缺或者銜接不當(dāng)。所以在講授高中新課之前，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)充一些銜接知識(shí)，以使學(xué)生能盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)。本文通過(guò)以下初高中數(shù)學(xué)知識(shí)“脫節(jié)”點(diǎn)做出部分相應(yīng)的試題剖析，使學(xué)生培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)所應(yīng)具備的素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：立方和與差的公式；因式分解；二次函數(shù)；二元二次方程組及其在圓錐曲線中的應(yīng)用；裂項(xiàng)相消與倒序相加.

1、立方和與差的公式：初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

（1）立方和公式 ：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3

（2）立方差公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3

例1、下列各式：

（1）（4+m）（16-4m+m2） （2）（1/5m-1/2n）（1/25m2+1/10mn+1/4n2）

解：原式=43+m3=64+m3. 解：原式=（1/5m）3-（1/2n）3=1/125m3-1/8n3

2、因式分解：初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到，如解方程、不等式等。

例2、因式分解：（1）12x2-5x-2 （2）5x2+6xy-8y2

解：（1）12x2-5x-2=（3x-2）（4x+1）

（2）5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）

3、二次函數(shù)：初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值， 二次不等式恒成立問(wèn)題等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容。

中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的配方形式有：

（1） ax2+bx+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）a2+b2=（a+b）2-2ab ；

（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab ；（4） ；

（5）a2+1/a2 =（a+1/a）2-2

例4、已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3的值.

解：∵x2-3x+1=0 ∴x≠0 ∴x+1/x=3

原式=（x+1/x）（x2-1+1/x2）=（x+1/x）[（x+1/x）2-3]=3（32-3）=18

例5、 若x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根.

（1）x12+x22； （2）1/x1+1/x2； （3）x13+x23.

解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根，

∴x1+x2=-5/2，x1x2=-3/2.

（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-5/2）2-2·（-3/2）=4016；

（2） =1/1003；

（3）x13+x23=（x1+x2）（ x12-x1x2+x22）=（x1+x2）[ （ x1+x2） 2-3x1x2]

=（-5/2）×[（-5/2）2-3×（-3/2）]=-215/8.

例6、 解下列分式不等式：

（1） （2x-3）/（x+1）<0 （2） 1/（x+2）≤3

解：（1）不等式（2x-3）/（x+1）<0等價(jià)于（2x-3）（x+1）<0，

所以原不等式的解為：-1

（2）

所以原不等式的解為：x<-2或x≥-5/3。

例7、關(guān)于x的不等式mx2-4mx+m+3=0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

[解析]：（1）m=0時(shí)，不等式在R上恒成立

（2）

∴由（1）、（2）可得，m的取值范圍為[0，1）.

4 、二元二次方程組及其在圓錐曲線中的應(yīng)用：

例8、 求直線x-2y-2=0與橢圓x2+4y2-4=0的交點(diǎn)。

解：二元二次方程組

由②，得 x=2y+2， ③

把③代入①，整理，得： 8y2+8y=0，

即 y（y+1）=0. 解得 y1=0，y2=-1.

把y1=0代入③， 得 x1=2；

把y2=-1代入③， 得x2=0.

所以原方程組的解是

所求交點(diǎn)是（2，0）和（0，-1）

說(shuō)明：在解類(lèi)似于本例的二元二次方程組時(shí)，通常采用本例所介紹的代入消元法來(lái)求解.

5、裂項(xiàng)相消與倒序相加：

常用裂項(xiàng)形式有：

（1） ；（2）

（3） ；（4）

例9、已知函數(shù)f（x）=x2+2bx過(guò)點(diǎn)（1，2），若數(shù)列{1/f（n）}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 015的值是________.

解：∵函數(shù)f（x）=x2+2bx過(guò)點(diǎn)（1，2），∴1+2b=2，解得b=1/2.

∴f（x）=x2+x.∴1/f（n）=1/[n（2+n）]=1/n-1/（n+1）.

∴Sn=（1-1/2）+（1/2-1/3）+…+[1/n-1/（n+1）]=1-1/（n+1）=n/（n+1）. ∴S2 015=2015/2016.

通過(guò)以上部分試題剖析，可以知道，初中內(nèi)容“淺、少、易”，與學(xué)生生活貼近，簡(jiǎn)單、具體形象；高中內(nèi)容“起點(diǎn)高，容量多，難度大”，概括性、抽象性、邏輯性明顯增強(qiáng)。高 一教學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題能力，把學(xué)生掌握“基礎(chǔ)知識(shí)，基本方法”，放在首位。我們要真正樹(shù)立素質(zhì)教育和新課程的理念，用課標(biāo)新教材的思想來(lái)看待銜接教學(xué)，要敢于降低高一上學(xué)期的教學(xué)目標(biāo)，真正做到低起點(diǎn)、緩坡度，扎實(shí)搞好銜接教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展和健康成長(zhǎng)。

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[3]余勝利.從中學(xué)生認(rèn)知發(fā)展角度促進(jìn)初高中數(shù)學(xué)銜接.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2014（6）：39-41.