微積分中函數極限求法的淺析

程松林

摘要：函數的極限是微積分各種考試中經常出現的基礎考點，其方法和技巧的分析總結有助于導數和定積分等概念的理解。本文結合經典考題，討論了函數極限計算中的三種主要方法，以期學生對相關計算能夠理解并靈活運用。

關鍵詞：函數;極限;微積分

函數是微積分的研究對象，而一元函數的極限是微積分計算的基礎。如何求函數的極限問題是許多大一學生和考研同學在微積分學習備考中比較關注的要點之一，相對于其他章節內容，此部分內容容易上手，但具體計算時由于選擇的方法不一定合適和有效，解題過程會經常出現一些不該犯的錯誤而造成失分。

函數的極限類型主要有0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等七種未定式情況，其中最為關鍵的是0/0和∞/∞型，其它五種通過“冪指分離”方法可以轉化為這兩種類型。對于0/0和∞/∞型未定式函數的極限，常見的方法有分解因式去零、無窮小因子分出、分子（分母）有理化、等價無窮小替換、洛必達法則和泰勒公式等。對于一般選拔性質的微積分考試，如插班生、高等數學競賽和研究生數學考試，考查最多的主要集中后三種方法上。基于相關的典型問題，本文對微積分一元函數的極限計算進行簡要分析如下：

一、等價無窮小替換

同濟大學《微積分》教材上給出了函數乘積運算時的等價無窮小替換定理，需要強調的是函數求和時的等價無窮小替換定理并沒有給出，可以考慮基于極限的四則運算加以轉化，靈活運用。

二、洛必達法則

值得注意的是在計算0/0和∞/∞型未定式時，運用洛必達法則前盡量對函數部分項進行簡化，如果有因子項能用等價無窮小替換需要先行替換，如果有部分項的極限存在（若在分母中要求極限不為零），可以考慮拆項先將此部分項極限求出來。這樣，可以明顯降低使用洛必達法則進行計算的復雜度。

三、泰勒公式

有些函數極限的計算運用洛必達法則時可能會顯得比較復雜，而運用泰勒公式方法呈現明顯的簡便性，特別是函數sinx，e，ln（l+x）在x=0處的佩亞諾余項展開式，在考試中需要重點關注。

解：由sinx在x=0處的佩亞諾余項展開式得sin 6x = 6x-1/3！（6x）+o（x），代入原式

解：由函數ln（1+x）在x=0處的佩亞諾余項展開式得ln（1+x）=x-1/2x+o（x），則在

考試中關于函數的極限計算題目是多種多樣的，但解題考查的要點大多集中在等價無窮小乘積替換、洛必達法則和泰勒公式等方法技巧上。在教學過程中，老師需要注意講解不同類型的題目和加以分析比較，弓l導學生積極思考并不斷總結規律。在平時的學習過程中，學生需要通過大量題目的演練形成“題感”并靈活運用，才能在考試中更快地找到合適有效的計算方法，從而取得理想的微積分成績。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.微積分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]李永樂，王式安，武忠祥.數學厲年真題全精解析[M].西安：西安交通大學出版社，2019.