維納過程在數理金融學中的應用錯誤及糾正

● 高 宏

一、引言

維納過程（Wiener process）是描述復雜隨機現象的基本隨機過程，在自然科學、工程技術和社會科學領域有著廣泛的應用。隨機過程一般使用隨機變量和樣本函數兩種變量，分別從狀態空間和時域兩個維度進行描述，但是維納過程的定義及性質卻是單獨以隨機變量的形式從狀態空間給出的，不能直接用來描述隨機現象隨時間演變的實際過程，在應用時往往會出現概念性錯誤。本文指出了數理金融學直接將維納過程的隨機變量模型和狀態空間統計特性用于描述金融資產價格隨時間演變過程的概念性錯誤，并根據金融資產價格與時間一一對應的函數關系，使用維納過程樣本函數來描述金融資產價格隨時間演變的過程，建立了股票價格積分模型，推導出了股票價格的自相關函數和功率譜密度。

二、維納過程定義

定義：設{W（t），t≥0}為隨機過程，如果

（1）W（0）=0；

（2）ΔW（t）為服從N（0，σ2）的平穩獨立增量；

（3）對任意的t＞s≥0，W（t）-W（s）～N（0，σ2（t-s））。

則稱{W（t），t≥0}是參數為σ2的維納過程，或布朗運動。

由維納過程定義，維納過程具有如下特性：

（1）W（t）服從（0，tσ2）正態分布；

（2）W（t）為馬爾科夫過程；

（3）W（t）為鞅過程。

事實上，維納過程 W（t）是定義在ΩT上的二元函數，對于固定的t∈T，W（t）是定義在狀態空間Ω上的函數，稱為隨機變量，自變量為樣本點ω；對于固定的ω∈Ω，W（t）是一個確定性的時間函數，通常稱為樣本函數或樣本軌道，自變量為時間t。

維納過程的定義是以隨機變量形式從狀態空間給出的，因此W（t）并不表示W是t的函數，它只表示t時刻隨機變量W在樣本空間Ω的狀態。

為區別維納過程的隨機變量和樣本函數，用大寫字母W（t）表示隨機變量，用小寫字母w（t）表示樣本函數。因此，維納過程W（t）是一族樣本函數w（t）的集合，所有樣本函數在t時刻的取值構成了隨機變量的定義域。

從維納過程的定義可以看出，維納過程為非平穩隨機過程，不具備各態歷經性，其隨機變量W（t）的統計平均和樣本函數w（t）的時間平均不相等。

三、應用錯誤

觀察股票價格s隨時間t的變化過程，有s和t兩個變量，對于自變量t的每一個值，s都有唯一一個確定的值與它對應，因此，s是t的函數，可表示為s（t）。

設y（t）=ln s（t）為股票對數價格，則股票價格s（t）在Δt區間上的對數收益率為

顯然，Δy（t）也是t的函數。

Osborne（1959）和 Fama（1965）的實證研究結果表明，股票價格對數收益率為均值為零的白噪聲序列，與維納過程樣本函數w（t）的差分Δw（t）相同。但是，Osborne和Fama在建立股票價格數學模型y（t）時，使用的是維納過程隨機變量W（t）的差分ΔW（t），即

或

式（2）和式（3）左邊的y（t）為時域樣本函數，右邊的W（t）為定義在狀態空間的隨機變量，完全沒有等價關系。

若將維納過程隨機變量W（t）在狀態空間的統計特性直接用于時間函數y（t），則會得出股票價格y（t）服從正態分布、股票價格為馬爾科夫過程和鞅過程、股票價格的變化與時間的平方根成正比等一系列錯誤結論。

維納過程的上述應用錯誤直接導致數理金融學產生了另外一個更為嚴重的錯誤。為了讓式（2）和式（3）兩邊在形式上保持相等，Merton（2013）、Wilmott（2015）、Ross（2014）和Hull（2013）竟將股票價格與時間之間的數量關系假設為狀態空間的隨機變量，致使數理金融學的研究對象和研究方法發生了根本性變化，研究對象從時域的單個樣本函數改變為狀態空間所有樣本函數的集合，研究方法從時域函數分析轉變為狀態空間概率分析，因此建立的隨機數學模型和推導出的所有結論必然與事實不符，無法正確描述股票價格運動現象及規律，更不能預測股票價格的發展趨勢和變化結果（Triana，2014）。

四、錯誤糾正

將式（3）中的維納過程隨機變量W（t）替換為樣本函數w（t），有

由維納過程定義，dW（t）為高斯白噪聲過程，因此式（4）可改寫為

式中ε（t）為服從N（0，σ2）正態分布的高斯白噪聲樣本函數。

（一）股票價格數學模型

對式（5）的微分數學模型進行積分，可得股票價格的積分模型

顯然，股票價格y（t）是對ε（t）的變限積分，表明式（6）為非線性時變模型。

在實際應用時，可以放寬白噪聲ε（t）服從正態分布的要求，只需白噪聲樣本函數ε（t）在不同時刻的取值互不相關，即

式中Rε（τ）為ε（t）的時間自相關函數，N0為正實常數，δ（t）為單位沖擊函數。N0的物理意義代表白噪聲信號在單位電阻上產生的平均功率。

（二）股票價格自相關函數

股票價格y（t）的時間自相關函數為

式中，為時間間隔。

（三）股票價格功率譜密度

在［0，t］區間，y（t）的平均功率有限，自相關函數Ry（）絕對可積，根據維納-辛欽定理，y（t）的功率譜密度Sy（ω）是其自相關函數Ry（τ）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數，是正弦函數Sin（ωt）與單調遞減函數1/ ωt的乘積。

從式（9）可以看出，股票價格的功率譜密度與頻率的平方成反比。Andreadis（2000）對1988年12月1日至1998年4月1日的S&P 500標準普爾指數（日）進行了功率譜計算，實證結果顯示：S&P 500指數的對數功率譜密度與頻率的平方成反比，因此式（9）得到實驗驗證，表明式（6）的積分數學模型、式（8）的自相關函數和式（9）的功率譜密度均被證實。

Sy（ω）在ω=0處有最大值N0t2，在時域中就表現為，股票價格y（t）中存在一條與時間t成正比的線性趨勢線，y（t）圍繞趨勢線上下波動，與實際股票對數價格中存在長期線性趨勢這一觀察現象完全相符。

五、結論

本文指出了數理金融學使用維納過程刻畫金融資產價格隨時間演變過程時的概念性錯誤，并根據金融資產價格與時間一一對應的函數關系，使用維納過程樣本函數來描述資產價格隨時間演變的過程，建立了股票價格積分模型，推導出了可揭示金融資產價格運動規律的自相關函數和功率譜密度，從理論上證明了股票價格具有可預測性，得出了股票價格的波動幅度與波動頻率成反比的運動規律，可為證券投資活動的價格分析、價格預測及風險管理提供有效的數學模型及分析工具。