對兩條生活經驗的理性探索

楊亞軍

摘 要：數學源于生活，但由于數學的高度抽象，讓學生對數學心存恐懼.數學建模作為數學核心素養，在學生的眼中往往高不可攀.筆者結合教材中的一道例題，結和學生平時提過的一個問題，以探索兩條生活經驗背后的科學依據，讓學生體會、感受如何把實際問題數學化，利用數學工具去解決，以此來消除學生對數學建模的恐懼感，也讓學生感受那些貌似冰冷、古怪的數學公式、數學結論骨子里的熱情與魅力，激發學生對數學學習的興趣.

關鍵詞：數學建模;數學應用;數學的魅力

生活中，人們積累了許多行之有效的經驗，往往能快捷、有效地解決有關問題.下面，咱們通過兩個具體的例子，一起來體會探索生活經驗背后的科學依據.

經驗1：人們要把一段圓形木料截成長方形，要使截出來的長方形木料面積最大，只需按該圓的內接正方形截即可.這經驗的科學依據是什么？能用我們所學的數學知識給出解釋嗎？

下面我們用圓代替圓形木料，上述經驗可表述為：圓的內接矩形中，正方形的面積最大.以下探索這種說法的科學依據.

如圖1，設矩形ABCD是的內接矩形，的半徑為（定值）.以下探索：當矩形ABCD是正方形時其面積最大.

如圖2，連結AC，過點B作AC的垂線，垂足為點M，則，顯然點B到AC距離的最大值為R，此時點M與點O重合，亦即AB=BC時，矩形ABCD的面積最大.這就是這條生活經驗背后的數學依據.

若是注意到圓和它的內接矩形都是軸對稱圖形，且他們有共同的對稱軸，比如圖4中的直線EF就是它們的一條公共對稱軸.我們亦可把問題轉化為：在半圓中研究矩形ABEF面積取最大值的條件.

經驗2：為了推進某條公路沿線各村經濟的的發展，政府擬在該公路沿線的某處建設一個農產品交易市場.若只考慮沿線各村從村口的公路到該市場的路程總合最小，該市場位置應建在何處？生活經驗告訴我們，該市場應建在這段公路旁所有村子里最靠近“中間”的村子附近.這經驗的科學依據是什么？能用我們所學的數學知識給出解釋嗎？

下面我們用直線代替該條公路，把這個問題放在數軸上研究.如圖5，我們用各村口該公路的里程數表示該村在數軸上的相對位置，設這n個村子村口該公路的里程數分別為，設交易市場所在位置該公路的里程數為x.

通過對這兩條生活經驗的探究，讓我們對這些生活經驗有了更深刻、理性的認識.更為重要的是：讓我們真切地體會到了數學的工具性和數學的應用價值.與此同時，也體驗了如何恰當地引入變量，用數學的符號語言、用數學模型把實際問題理想化、簡單化成一個數學問題，再用數學的有關知識、方法、結論等解決該數學問題，進而解決對應的實際問題.在這樣的實踐探索中，曾經的那些抽象、古怪的數學公式、數學結論、數學方法變成了一個個具體、有生命力的解決問題的工具.具體到下面這些數學結論：（2α），（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），它們在我們研究上述問題時是不是很給力？我們現在對它們的認識和感覺是不是也不一樣了？！

參考文獻

[1]《數學必修4》，嚴士健，王尚志主編，北京師范大學出版社，2017.7（2018.12）：125.

[2]張中華，淺議數學核心素養中數學模型能力的培養，《上海中學數學》，2018（11）：3-5.

（作者單位：陜西省寶雞中學）