淺談向量法在立體幾何問題中的應(yīng)用

石澤忠

摘 要：空間幾何的問題主要是以簡單的幾何體為載體考查空間中線、面的關(guān)系。而空間中線、面的關(guān)系需要轉(zhuǎn)化到平面上來討論，但這種“降維”有時很不好轉(zhuǎn)化。而空間向量為我們提供了一種非常有效的解法，其主要依據(jù)是空間向量本身的意義以及它的運(yùn)算性。

關(guān)鍵詞：立體幾何;向量法

高考立體幾何大題總是圍繞著直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系，依托棱柱、棱錐設(shè)計(jì)題目，從證明的方面來說，分證明平行與垂直兩大類;從計(jì)算題的方面來說，分空間角的計(jì)算，距離的計(jì)算，表面積與體積計(jì)算三大類。平行問題相對來說比較簡單，本文著重對用向量法解決求異面直線所成的角（線線角）、直線與平面所成的角（線面角）、平面與平面所成二面角的平面角（面面角）以及垂直和點(diǎn)到平面的距離的問題。

首先對相關(guān)知識進(jìn)行梳理：

1.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系 向量表示

直線l1，l2的方向向量分別為a，b l1∥l2 a∥ba=λb

l1⊥l2 a⊥ba·b=0

直線l的方向向量為a，平面α的法向量為m l∥α a⊥mm·a=0

l⊥α a∥ma=λm

平面α、β的法向量分別為n，m α∥β n∥mn=λm

α⊥β n⊥mn·m=0

2.空間向量與空間角的關(guān)系

（1）設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為a，b，則l1與l2所成的角θ滿足：

cosθ=|cos〈a，b〉|，

（2）平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角.

設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量為a，m，則直線l與平面α所成角θ滿足：

sinθ=|cos〈a，m〉|，

（3）求二面角的大小（）

Ⅰ.如圖①，AB、CD是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ=.

Ⅱ.如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ=cos〈n1，n2〉或-cos〈n1，n2〉.即

cosθ=|cos〈n1，n2〉|，

3.點(diǎn)A到平面α的距離：，其中，是平面α的法向量。

運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題時，一般步驟為：

建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（必須牢牢抓住相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系：線線垂直、線面垂直、面面垂直）;

求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);

寫出向量的坐標(biāo);

進(jìn)行向量運(yùn)算;

轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。

典例講解：

例1、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=，PB⊥PD.求異面直接PD與BC所成角的余弦值;

解法一：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又PB⊥PD，BO=2，PO=，

由平面幾何知識得：

以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0，0），A（2，0，0），B（-1，0，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，），

（Ⅰ），，。若PD與BC所成的角為，則。故直線PD與BC所成的角的余弦值為

評述：注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量夾角的關(guān)系：相等或互補(bǔ);

求異面直線所成的角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須把所求向量用空間的一組基向量來表示，

例2、如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖（2）.

（1）求證：A1C⊥平面BCDE;

（2）若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小;

（3）線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由.

【解】（1）證明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，

又A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE

（2）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz則A1，D（0，2，0），M（0，1，），B（3，0，0），E（0，2，0）

設(shè)平面A1BE的法向量為n=（x，y，z），則

又

令y=1，則

設(shè)CM與平面A1BE所成的角為θ，

∴CM與平面A1BE所成角的大小為

（3）線段BC上不存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.理由如下：

假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，設(shè)其坐標(biāo)為（p，0，0），其中p∈[0，3].

設(shè)平面A1DP的法向量為m=（x′，y′，z′），

則又

令，則

平面A1DP⊥平面A1BE，當(dāng)且僅當(dāng)m·n=0，即4+p+p=0? 解得p=-2，與p∈[0，3]矛盾.

評述：若用綜合推理的方法不易入手，可用向量代數(shù)的方法則先證明線線垂直，再由線線垂直來證明線面垂直，從而證得面面垂直.證明面面垂直的原理是一致的，只不過是證明的手段不同.

例3、如圖，幾何體EF?ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°

（1）求證：AC⊥FB;

（2）求二面角E-FB-C的大小.

【解】（1）證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，

∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，

∵四邊形CDEF為正方形，∴DC⊥FC

∵DC∩AD=D，

∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC

又∵四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，

∴AC=2，BC=2

則有AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB

（2）由（1）知AD，DC，DE所在直線相互垂直，故以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得D（0，0，0），F(xiàn)（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），

設(shè)平面EFB的法向量為n=（x，y，z），

則有，，

令，則

由（1）知平面FCB的一個法向量

設(shè)二面角E-FB-C的大小為θ，由圖知

評述：利用向量法求二面角的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;

（2）分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;

（3）求出兩個法向量的夾角;

（4）判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角;

（5）確定出二面角的平面角的大小.