高中數學立體幾何解題技巧總結

張國政

在新課標下，數學核心素養培養是我們高中生需要具備的一種基本素養，也是我們真正理解和認識數學知識，形成科學數學思維的重要保障。空間想象力與邏輯推理能力則是數學核心素養的重要構成因子，對于我們數學能力發展至關重要。考慮到立體幾何知識學習以及相關問題求解，可以發展我們的空間想象力，提升我們的綜合學習能力，所以我們必須要掌握解決立體幾何問題的常用技巧。

1.分割法及其應用

分割法主要是先將立體幾何體劃分成若干個組成部分，之后基于整體和部分之間關系來求解有關數學問題。

例1：已知三棱錐P-ABC，PA=4，PB=PC=2，∠APC=∠APB=∠BPC=60°，試求三棱錐的體積？

解析：該道立體幾何體主要是求解整體體積，需要借助三角錐體積求解公式V=1/3*底面積*H，所以許多學生在解決該題的時候，可能會先求出圖1△ABC底面積，之后作出垂直于其表面的高PH，又或者采用直截面（面PAD），以其作為底面，BC為垂直于該面的高，那么同樣可以借助三角錐體積求解公式來進行求解。上面這兩種求解方式都需要求解出△PAD的面積，但是由于三邊長度不規則，面積求解比較復雜，所以求解起來難度比較大。但是此時如果按照圖2所示，將邊PB和邊PC分別延長到E點和F點，使PE=PF=4，那么可知此時三棱錐P-AEF為正三棱錐，此時非常容易證明邊EF的中位線就是邊BC。

由圖2可知，BC/EF=1/2，那么可知S△PBC/S△PEF=1/4。

因為三棱錐A-PBC和三棱錐A-PEF二者等高，所以可知VA-PBC/VA-PEF=1/4。

又因VA-PBC=VA-ABC，所以可知VA-PBC=1/4VA-PEF，故VA-PBC=1/4VA-PEF=。

通過上述分割法的應用，可以將復雜的立體幾何求解劃分成若干個標準的、簡單的幾何體來進行分別求解，這樣可以大大降低我們的解題難度，減少計算量，提高了我們的解題準確度和效率。

2.補形法及其應用

補

形法主要是將給定的已知幾何體通過補充形成一個全新的幾何體，之后在所形成的的新幾何體中對圖形數量關系以及性質等進行探討的研究法。

例2：圖3是一平面截取某圓柱體所得，截取后幾何體最長和最短側面母線分別為4和1，且已知該圓柱的底面半徑長度為2，試求該幾何體的體積？

解析：由于給定的幾何體是不規則幾何體，所以如果直接進行求解難度比較大，但是此時如果可以應用“補形法”這種割補法，將一個完全相同的幾何體同已知幾何體拼接起來，就可以構成圖4所示一個標準的高5，底面圓直徑為2的圓柱體，此時可得待求幾何體體積為該圓柱體的1/2，即：。

3.輔助線構造法及其應用

輔助線構造法主要是通過合理地添加輔助線，將某些復雜立體幾何圖形變得更加條理，顯示更加直觀，是一種簡化數學問題的有效方法，這種方法也是我們高中生必須要掌握的一種常規解題法。特別是在二面角相關立體幾何問題求解的時候，為了簡化問題，常常可以借助在圖形中合理添加輔助線的方式來簡化數學問題。

例：4：如圖5，已知二面角，其中，且PA=PD，四邊形ABCD為一個矩形，其中邊AB和邊PC的中點分別為M點和N點，試證明：MN為異面直線AB與PC二者的公垂線。

解析：該道數學問題是一道典型的二面角的數學問題，此時單純依靠題目給定的條件是無法證明待證明結論的，這時候為了快速證明結論，就需要通過科學構造輔助線來證明結論。根據題目給定的條件可知：邊AB和邊PC的中點分別為M點和N點，此時為了證明問題的結論，可以采取“利用中點，連接中位線”的思路來進行證明。可以選擇邊PD的中點Q，之后連接QA和QN，此時QN就是△PDC的中位線，結合題干條件可知AM∥DC，之后結合題干信息就可以證明該題結論。

證明：在邊PD上作一點，使DQ=PQ，將QA和QN連接起來。鑒于PD中點為Q，N為邊PC的中點，所以可知QN為△PDC的中位線，即QN=1/2DC。

又因為ABCD為矩形，且M為邊AB中點，

所以可知AM∥DC，且AM=DC，

所以QN∥AM，且AM=QN;

所以可知四邊形AMNQ為平行四邊形，即MN∥AQ;

又因為PA⊥α，所以AB⊥AD;

因為PA和PD同屬于一個平面PAD，所以平面PAD和AB是相互垂直的，所以CD⊥平PAD。

根據線面垂直定理可知，AQ⊥PC，所以MN⊥PC，這樣就可以確定MN為異面直線AB與PC二者的公垂線。

總之，分割法、補形法或輔助線構造法等是采取分割、補形或輔助線等構造方式對立體幾何進行處理，之后基于所得新的立體，挖掘已知幾何體和未知幾何體二者內在聯系性，從而達到簡化立體幾何問題的目的。在實際的立體幾何問題求解中，我們需要結合實際的題干信息，靈活運用輔助線構造等解題技巧，確保不斷提升我們的解題能力。