從運籌學的角度再看高中線性規劃求最值問題

顏習位　許世雄

摘 要：線性規劃是高中數學與大學數學相銜接的一個重要基礎。從大學數學中運籌學的角度出發，得出求高中線性規劃目標函數最值問題的一種新解法。希望能給一線教師和高中學生一些啟發。

關鍵詞：線性規劃;最值;運籌學;解題

文章一開始給出運籌學課程中的一個基本定義和兩個定理。這些定義和定理在普通運籌學書籍中都能查找到，并且定理有詳細的證明過程，在此就不多贅述。

最優解：使某線性規劃的目標函數達到最優值（最大值或最小值）的任一可行解，都稱為該線性規劃的一個最優解。

定理1：線性規劃問題中的基可行解對應于可行域的頂點。

定理2：線性規劃問題的最優解存在，則一定存在基可行解是最優解。

綜上得出，從運籌學的觀點來看，使得高中二維線性規劃中，可行域的所有頂點中其中一定存在一個頂點使得目標函數取到最值。則通過逆向思維分析，要求解一道高中線性規劃的最值問題，只需把可行域中的頂點坐標求出，帶入目標函數中進行計算，所求出來的最大值即為目標函數的最大值，求出來的最小值即為目標函數的最小值。若可行域中只存在一個頂點，則該頂點坐標帶入目標函數中所求出的值一定是目標函數的最大值或者最小值。

若采用上面的解題思路，則線性規劃求目標函數的最值問題就轉化為了求可行域頂點坐標后帶入目標函數比較大小的問題。我們暫且把這種方法叫做“頂點帶入比較法”在某些題目中，相比較傳統的解題方法，此方法加快了不少做題速度。下面以高中線性規劃求目標函數最值問題中常見的兩種題型為例，用傳統的解題方法和文中提出的解題方法對例題進行求解，比較兩種解題方法的優劣。

題型1：與直線的斜率有關的最值問題

例1實數x、y滿足條件，求的最小值。

解一：分析，k值就是可行域內的點與點（-1，1）所連接直線的斜率值。畫出可行域與點（-1，1），可以看出當取直線2x-y-2=0與x軸的交點C時，直線斜率最小，即目標函數最小，此時，如圖1所示。

解二：求出可行域內的兩個頂點坐標（1，0）和（4，0），代入目標函數分別求出和，因此為目標函數最小值。

題型2：與直線的截距有關的最值問題

例2實數x、y滿足條件，求z=x+2y的最大值和最小值。

解一：分析：目標函數其實就是斜率為2的直線的縱截距的一半。畫出可行域，作斜率為，截距為的平行直線系，當直線在可行域內滑動時候，當直線過原點時，縱截距最小，則縱截距的一半值也是最小的，此時z=0。當直線過點C時，縱截距最大，則目標函數也最大，此時z=3，如圖2所示。

解2：求出可行域內的四個頂點坐標（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）帶入目標函數求出z的值為0，1，2，3，則z的最大值為3，最小值為0。

總結與反思

在線性規劃求最值的題目中，若可行域的頂點數不多，則采用文中提出的“頂點帶入比較法”求解可以提高解題速度，但是對培養學生的數形結合思想和應用規劃能力沒有好處。若可行域的頂點數過多，則采用傳統方法解題較為恰當。當我們從高觀點下看待初高中數學問題時，總能有意外的收獲，對我們的教學或者解題有很大幫助。因此，初高中教師在教學過程中應能打破常規，從較高觀點思考問題，從而加深對問題本質的認識，來輔助自己的教學。

作者簡介

顏習位（1976.12-），男，漢族，高中數學教師，高級教師，云南省保山市施甸二中，研究方向：數學教學。

許世雄（1993.10-），男，漢族，在讀教育碩士，研究方向：學科教學（數學）;單位：云南師范大學數學學院。