2018高考全國卷立體幾何題的思考

黃森宏

摘 要：空間向量作為一種有效的解題工具，更新了立體幾何的知識體系和思維方式，突破了傳統教學的難點，大大的降低了立體幾何的難度。它把空間的幾何結構有系統的代數化、數量化，從而使幾何問題變得更為簡捷，正因為空間向量是解決立體幾何的有效工具，所以我們在教學中必須對向量的知識，立體幾何的知識，以及向量與立體幾何的緊密聯系要有個清晰的認識，直線研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二種特殊情況，向量共線與向量垂直，所以在立體幾何中，往往就是用共線與垂直去解決立體幾何中的探究性問題！

關鍵詞：立體幾何;空間向量;共線與垂直;翻折

立體幾何作為高考數學的必考題，年年考，立體幾何無外乎考查立體幾何中簡單幾何體組合體的概念、性質、圖形特征，表面積體積等計算，培養空間想象能力;簡單幾何體的點線面的位置關系，比如平行垂直關系;立體幾何中線線角，線面角，二面角的求解;立體幾何中的距離問題往往跟幾何體的體積聯系在一起。

同時空間向量作為一種有效的解題工具，更新了立體幾何的知識體系和思維方式，突破了傳統教學的難點，大大的降低了立體幾何的難度，并通過直觀感知和操作確認的方式獲取對立體幾何圖形和性質的認識，提高學生的學習興趣。它把空間的幾何結構有系統的代數化、數量化，從而使幾何問題變得更為簡捷，讓學生站在一個新的高度看問題，闡述空間向量引入的意義和必要性。

正因為空間向量是解決立體幾何的有效工具，所以我們在教學中必須對向量的知識，立體幾何的知識，以及向量與立體幾何的緊密聯系要有個清晰的認識，我們要明確在高中階段，向量主要研究的是向量的加減數乘與數乘運算，數量積運算，一般基底下的運算及正交基底下的坐標運算，以及向量的模與夾角，正因為可以解決模與夾角，所以能夠與立體幾何緊密的聯系起來，同時直線研究的是方向向量，平面研究的是法向量，更重要的是向量主要研究的是二種特殊情況，向量共線與向量垂直，所以在立體幾何中，往往就是用共線與垂直去解決立體幾何中的探究性問題！

正因為如此，在平時的教學中，我提出如下：

1.熟悉空間幾何體的基本特征，特別是幾種特殊幾何體，比如正方體，長方體，正三棱錐，球等等，三視圖與直觀圖的切換，通過這些分析理解透點線面關系，提升空間想象能力

2.立體幾何問題，首先要解決平面幾何的問題，也就是平面幾何是研究并解決立體幾何的基礎，把立體幾何問題轉化到平面幾何中。

3.鞏固空間（平面）向量的基本知識，強化向量夾角與向量的模的概念，公式的理解與應用，特別是向量的共線與垂直，這些往往就是解決立體幾何的關鍵！

4.立體幾何的另一考查重點是幾何中的翻折問題，翻折問題要緊扣圖形中變與不變的量，熟練識圖，分析出平面幾何，立體幾何，再運用相關知識去求解。

5.在立體幾何中，一般第一問我主張用幾何法證與求，在證明平行與垂直中，一定要掌握線，面的互相切換。第二問提倡用向量法求，可能對學生的解題會有較大幫助

6.正因為引入向量，所以建立空間直角坐標系，建系有個要求，必須要找到兩兩垂直，對于兩兩垂直有二個要求，一是條件明說的，直接建系就行，如果沒有的，須通過證明兩兩垂直，

建系時最佳的結果是盡量多的點在坐標軸上，因為用空間向量去解決立體幾何問題，把比較抽象的幾何問題轉化為代數問題，既然是計算問題，就須提高計算能力，其中建系的好不好，直接影響到計算難度與計算量，這考驗學生的計算能力！

基于上面我的教學體會與理解，下面對2018年全國Ⅰ卷理科數學第18題立體幾何進行剖析：

例：（2018全國卷Ⅰ）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PE⊥BF.

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

1.首先，這是一個立體幾何的翻折問題，首先我們的明確哪些量是變的，哪些量是不變的，

比如∠DPF的大小，線段DP，PF的長度是不變的，即∠DCF=∠DPF=π/2，線段DP=DC，CF=PF。在翻折過程中變的是點P的位置

2.明確考查內容，這是面面垂直的證明，那么需要用到面面垂直的證明所需的定理公理，同時更要明確證明面面垂直有哪些途徑，比如是否是直接有平面幾何知識，還是能過線線垂直→線面垂直→面面垂直，此題恰好用的就是這個思路去證明的

【解析】（1）由已知可得，BF⊥PE，BF⊥EF，——線線垂直

所以BF⊥平面PEF.——線面垂直

又BF平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.——面面垂直

3.歷年高考題比較：對比十年全國卷的立體幾何考題，2017考查的也是面面垂直，不過不是翻折問題，但也是線線垂直，線面垂直，面面垂直三者關系中的演化！在2016全國2卷出現了翻折問題，也是要抓住變與不變，線面關系去解決。從難度上來說，2018的考題是難度比較小的，比較適合大部份學生做的題

4.教學建議

緊扣空間向量的特點與研究的重點難點，結合立體幾何的特征與特點，把向量與幾何緊密的結合起來，挖掘問題的潛在關聯，利用立體幾何的定理公理定義，結合空間向量這個工具，更好地去解決立體幾何中遇到的問題！讓學生學會學數學，樂于學數學，在數學這個學科上，真正地愛上數學！

參考文獻

[1]《2018全國卷1高考數學理科試題》