向量數量積的求解方法探究

張雨晴　王法巖

摘 要：向量的數量積是平面向量的重要內容，與三角函數、解析幾何等都有密切的關系。所以，很多同學在這一知識模塊都會遇到各種問題。而這一知識點是歷年高考的常考題型，可以說是高考的重點，也是難點。在2018年高考中，天津卷，浙江卷，上海卷對此知識點都有涉及。筆者以2018年天津卷為例，通過概述向量數量積的定義和運算律對此問題進行分析研究，得到此類問題的一般常用解法。

關鍵詞：向量;數量積;高考;求解方法

一、向量數量積

1.向量數量積的定義

在數學上，已知兩個非零向量、，那么（是與的夾角）就是與的數量積，記作·。向量的數量積是平面向量的重要內容，是與高中數學中的三角函數、解析幾何、平面幾何等知識點不可分割的，在歷年高考中都占有較大的比重。因此，向量的數量積問題一直是高考的重點，也是難點。

2.向量數量積的運算律

向量數量積的運算律主要有三個，分別是交換律、數乘結合律和分配律。具體來看，交換律即·=·;數乘結合律是·=（·）=·;分配律指的是（+）=·+·。通過這三個運算律，我們可以靈活有效地解答相關題型。

二、向量數量積的求解方法

向量數量積在數學中有著不可忽視的地位，而且是歷年高考的常考題型。在2018年高考中多個省份的高考卷對此知識點都有涉及。因此，掌握向量數量積的求解方法對解題有很大的幫助。下面筆者以2018年高考天津卷為例，對向量數量積的求解方法進行分析研究。

1.定義法

求解數量積的最基本的方法就是數量積的定義法。利用定義法，我們主要是根據已知向量的模長和夾角進行求解即可。

例1：已知并且的夾角為60°，則。

根據觀察，兩個向量的模長和夾角已經給出，我們知道其中為的夾角。所以，對于此題，我們使用定義法求解就可以得到答案。

。

2.基底表示法

基底表示法是依據平面向量的基本定理而對數量積進行運算的一種方法。若已知條件中沒有給出所求向量的要素，即所求向量的模長和夾角，那么我們就可以用兩個合適的向量作為基底，來表示所求向量，進而完成運算。一般來說，基底的選擇主要依據三個原則：一是已知條件中出現的向量;二是已知模長和夾角的向量;三是很容易表示所求向量的向量。

例2（2018年天津卷9題）：在如圖的平面圖形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，則·的值為_________。

此題我們發現題設中給出的角是，的夾角，并且給出的長度也是ON，OM的長度，而要求的是向量與向量的數量積，因此，如果把，作為基底，用這組基底來表示向量，那么問題就迎刃而解了。因此，我們得到如下解法：

由于，因此我們有

。

3.幾何意義法

我們知道，它的幾何意義是：的模長與在方向上投影的乘積。因此，求解數量積還有一種方法，就是利用其幾何意義求出答案。向量本身就是連接幾何和代數的紐帶，通過幾何意義法，我們可以從深層次了解它們之間的關系，也可以更快速地解決問題。

例3：在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AO=2，則=_______。

如圖所示：的幾何意義是的模長與在方向上投影的乘積。由于四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥BD。因此我們知道在方向上的投影為AO，從而根據向量的幾何意義可以得到。

4.坐標法

我們知道，向量有兩種表示形式，分別是幾何形式和代數形式，那么既然有代數形式，我們遇到一些問題也可以用其代數形式及代數的性質，即坐標法來處理。坐標法是通過建立直角坐標系，把幾何問題轉化為代數問題來求解的一個過程。在這個過程中，向量的數量積運算和數量的代數運算相聯系，從而數與形得到緊密地聯系，大大降低了做題的難度。

例4：已知，，，并且，求的最大值。

我們發現此題中有，因此我們試圖用向量運算的代數方法來處理。以A為坐標原點，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則有，，。

因此有，從而得到，所以我們有，，

故有

，當且僅當時取等號，從而有的最大值為13.

本題抓住了這一條件，從而建立平面直角坐標系，把向量問題用其代數形式處理，最后轉化為函數運算，給我們的解題提供了很多的方便。一般情況下，除了有明顯的垂直，我們可以建直角坐標系外，如在等腰三角形，等腰梯形等圖形中也可以考慮用坐標法處理向量的相關問題。

總結

平面向量是既有大小又有方向的量，具有代數和幾何的雙重性質。其中，向量的數量積是平面向量的重要內容。對向量數量積的求解是近幾年高考考察的常見題型。因此，掌握向量數量積的求解方法是至關重要的。我們可以通過定義法、基底表示法、幾何意義法和坐標法等對數量積問題進行求解，從而達到化難為易的效果，使問題快速解決。

參考文獻

[1]朱麗娟，從一道高考題談平面向量數量積問題處理的兩種常見策略[J]，數學學習與研究2017（9）：149

[2]王健，數量積問題的求解策略[J]，數理天地（高中版）2018（1）：15-17