鞍點在FC-度量空間中新不動點定理中的運用

朱玲芳

摘 要：本文通過對PC-度量空間中轉移緊開值的新不動點定理進行分析基礎之上，借助KKM技巧獲得FC-度量空間中的相交定理、極大元定理、鞍點定理、極大極小不等式定理，通過對現有文獻成果結論加以統一、改進并推廣。

關鍵詞：FC-度量空間;新不動點定理;鞍點

Park該名學者于1999年首次提出了超凸空間的開值映射不動點定理，于2000年Kirk基于該理論提出了超凸空間中轉移開值映射不動點定理。后2005年有研究者在研究中通過在原有理論基礎之上，獲得了新的超凸空間不動點定理，重合定理，極大元定理以及鞍點定理和抽象經濟平衡存在定理等。后Wen于2007年提出了L-凸度量空間不動點定理、匹配定理、鞍定定理、抽象經濟平衡存在定理，通常來講擬平衡問題系統解存在定理等。直至2010年研究至今將FC-度量空間引入研究，并對其中的Browder不動點定理、R-KKM定理以及匹配重合定理、定性對策平衡存在定理展開研究分析。本文也將探索鞍點在FC-度量空間中新不動點定理中的運用，對相關研究成果結論進行總結。

1.基礎知識

假設X≠θ，通過對X的一切非空有限子集的族，以及所有X子集的族，均采用X及2X表示，將由e0，…en質檢的頂點n維標準單形采用表示，將FC-空間采用（X，φn）表示，假若X作為拓撲空間，那么對應N={x0，...，xn}∈<X>，之間存在連續性映射：φn：→X，而X的FC-子空間采用表示，較N={x0，...，xn}∈<X>，，假設X與空間不等，則稱之為映射T：作為R-KKM映射，假若={x0，...，xn}∈<X>，則存在，讓，則可得。

通過假設度量空間采用（M，d）表示，則在M中Kuratowksi非緊性測度采用μ表示，FC-度量空間采用（M，d，φn）表示，假若度量空間為（M，d），那么FC-空間則為（M，φn），因此對應公式N={x0，...，xn}∈<M>，。

通過假設拓撲空間為X，Y，對單值連續性映射采用C（X，Y）表示，的族，假設X，Y≠θ，，可得映射定義，假設拓撲空間為，那么集值的最終映射值T為X→2Y作為轉移值。假若對于與任意的非空集，因此，對應存在的，通過讓。

在以上基礎知識前提下將定義引入其中：

定義（1）假設FC-空間用表示，那么A，B則集值映射則采用表示，其中A相對于B來講作為相對FC-凸值，因此對于：

（1）

（2）

由上定義（1）通過基于相關研究者的現有成果基礎之上，定義A，B作為相對FC-凸值產生的。

定義（2）假設FC-空間用表示，那么實數表示則采用，對應兩個泛函則表示。其中有關y相對g的F--擬凸表示f。因此假若對于：

（3）

根據如上公式（3）可得出非空子集：

（4）

有，其中f作為y相應的F--擬凸。

由上該定義（2）實現了對Kirk定義的統一推廣，并基于Wen概念基礎之上對F--擬凸進行界定，因此可以引出以下原理：

通過將定義（1）引理其中，假設FC-空間用表示，那么實數表示則采用，對應A，B：分別定義：

（5）

（6）

假設在X≠θ中拓撲空間運用Y表示，那么實數則用表示，泛函g：X×Y→作為相關y作為-轉移緊下半連續的。

2.主要結論

定義（3.1）假設拓撲空間用X表示，FC-度量空間采用（M，d，φn）表示，那么完備FC-度量空間中的非空子集則用Y表示，A，B：作為兩個映射，能夠滿足以下條件：（1）B作為非空值;（2）B-1作為轉移緊開值;（3）A相對于B來講作為相對FC-凸值;（4）。

證明：根據（1）能夠得出：X=

因此可以斷定對于，存在：

與。

假若不是則存在，對于，可得：

（7）

定義G：Y→2M，即G（y）=，在的條件下可以得出，，所以R-KKM的映射即G，再加上根據以上能夠得出。由于B*作為轉移緊閉值，因此以f連續性為依據可以證實G同樣作為轉移緊閉值。進而得出公式如下：

（8）

根據以上公式（8）能夠得出：

（9）

因此根據以上公式（8）和公式（9），能夠得出，該結果矛盾于。

那么根據以上的推導求解證實，存在

N=，與結合考慮，能夠得出，因此可得：

（10）

根據，可以得出：

（11）

綜上界定的定義（3），實現了的對Park學者提出原理的統一改進推廣，并基于Wen定理中的2.1、3.2、2.5、3.3與3.2定理基礎之上，實現了最終定理的推導求解。直接運用定理（3）能夠存在極大元定理。

定義（3.2）中假設拓撲空間用X表示，FC-度量空間采用（M，d，φN）表示，那么完備FC-度量空間中的非空子集則用Y表示，A，B：X→2Y作為兩個映射，能夠滿足以下條件：（1）B-1作為轉移緊開值;（2）;（3）A，B是相對FC-凸值的;（4），存在能夠得出。

根據該定義作為基于Kirk及Wen學者的定理基礎之上推理得出。

定理（3.3）中假設拓撲空間用X表示，FC-度量空間采用（M，d，φN）表示，那么完備FC-度量空間中的非空子集則用Y表示，A，B：X→2Y作為兩個映射，能夠滿足以下條件：

（1）B作為轉移緊閉值;（2）;（3）A的連續性選擇為f;（4）A*相關于B*相對FC-凸值，可得。

證實：首先針對，可得：

（12）

據此可得：

（13）

根據以上條件中的（1）能夠發現，根據條件（2）可以發現B-1作為轉移緊開值，根據條件（3）能夠得出，因此可以得出：

，根據條件（4）與定義（3.2）結合能夠發現，據此最終可得。

定義（3.4）假設拓撲空間用X表示，FC-度量空間采用（M，d，φN）表示，那么完備FC-度量空間中的非空子集則用Y表示，，實數運用表示，兩個泛函，具體滿足條件如下：（1）;（2）y的-轉移下半連續有關g（x，y）;（3）f對于x來講相對g作為F--擬凸;（4）。

分別界定A，B：X→2Y作為：

（14）

（15）

因此可得：

（16）

（17）

定義（3.5）假設拓撲空間用X表示，FC-度量空間采用（M，d，φN）表示，那么完備FC-度量空間中的非空子集則用Y表示，，實數運用表示，泛函，具體滿足條件如下：

（1）有關y作為0-轉移緊下半連續，有關x作為0-轉移緊上半連續;

（2）;

（3）

（4）x有關f作為F-0-擬凸，有關y作為F-0-擬凸。

因此f作為X×X內存在鞍點，也就是：

能夠得出：

（18）

對g：定義：

（19）

根據（20）

能夠結合以上（18）、（19）、（20）三個公式，對于，得出：

（21）

根據以上最終證得X×X中的f鞍點為。

參考文獻

[1]FC-度量空間中的匹配定理及其對抽象經濟的應用[J].文開庭，李和睿.經濟數學.2012（04）

[2]有限度量緊開值集值映射的R-KKM定理及其對不動點的應用[J].文開庭，李和睿.西南大學學報（自然科學版）.2011（10）

[3]非緊L-凸度量空間中的一般擬平衡問題組（英文）[J].文開庭.應用數學.2010（04）

[4]FC-度量空間中的R-KKM定理及其對變分不等式和不動點的應用[J].文開庭.應用泛函分析學報.2010（03）

[5]FC-度量空間中的R-KKM定理及其對抽象經濟的應用[J].文開庭.西南師范大學學報（自然科學版）.2010（01）