數學歸納法在高考數列問題中的應用

張曉東 李益萍

摘 要：數列是高中數學中的一個重點和難點，也是高考數學的一個重要考點。數學歸納法是解決與正整數有關的數學問題的有效方法，在高考試題中有非常頻繁和廣泛的應用。相比較其他方法，用數學歸納法解某些數列題有時思路更順暢。

關鍵詞：數學歸納法;高考;數列

1、引言

數列是高中數學中的一個重點和難點，也是歷年數學高考重點考查的內容之一，與數列相關的問題往往靈活多樣、技巧性強。求數列通項公式除較為簡單的定義法、公式法外，僅“由遞推公式求數列通項”一種題型就有an+1=an+f（n）、an+1=f（n）an、an+1=pan+q、an+1=pan+f（n）、an+1=pan+1+qan、等多種形式，很多學生在解決這類問題時難以熟練掌握技巧，甚至出現求通項與求和方法混淆的情況，容易失分。

近幾年高考命題對于考查學生的探索和歸納問題的能力有所側重，廣泛出現了很多利用數學歸納法證明等式、不等式的題目。數學歸納法是解決與正整數有關的數學問題的有效方法，在高考試題中有非常頻繁和廣泛的應用。相比較其他方法，用數學歸納法解某些數列題有時思路更順暢。

2、以近年全國卷為例進行試題分析

2013-2018年高考理科全國卷I中與數列相關的題目數量、分值及考點分布情況如下表所示。

由上表可知，與數列相關的題目考察內容相對穩定，主要包括：求數列的通項公式、前n項和，證明等差、等比數列，等差、等比數列的性質等，有時甚至會與不等式的內容有所交叉。另一方面，從題型分布和分值上來看，歷年沒有較大變動，數列的內容幾乎每年都是出一道選擇題和一道填空題，占到10分，或者是一道解答題，也就是12分。

3、求數列通項公式

例1（2018全國I卷文科第17題）已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設.求b1，b2，b3判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由;求{an}的通項公式.

解：（1）b1=1，b2=2，b3=4.

因為所以由等比數列定義可知{bn}是等比數列，其首項為1，公比為2.

由已知條件可求得a1=1=1×20，a2=4=2×21，a3=12=3×22故猜想數列{an}的通項公式為an=n·2n-1.

①當n=2時，a1=1×21-1=1，成立。

②假設n=k時成立，即ak=k·2k-1.則，因此n=k+1時也成立.

由①②可知{an}的通項公式為an=n·2n-1.

點評：用數學歸納法求解數列通項公式的思想與小學奧數中“找規律”的題目異曲同工，本質上都是合情推理的過程。不同的是，后者只需要根據給出的幾項發現規律，并寫出后面幾項，而前者還需要給出合理、完整的證明過程。數學歸納法是一種證明已知命題為真命題的方法，用數學歸納法求數列通項最關鍵的一步在于猜想發現已知數列的通項公式，故此方法并不適用于求解數列通項公式較為復雜的題目。

4、證明數列不等式

不等式的內容在整個中學數學中占有重要地位，對于不等式的證明

例2（2017浙江理科第22題）已知數列{xn}滿足：.證明：當時，（1）.

證明：先證.①當n=1時，，不等式成立。

②假設當n=m時不等式成立，即xm>0.當n=m+1時，易知xm+1與ln（1+xm+1）同號，則由可知，xm+1>0.

由①②可知，對任意的，有xn>0，ln（1+xn）>0.所以成立.

點評：在證明數列不等式的過程中，單純用強化不等式、放縮的方法有時難以得到結果，甚至需要學生理解并記憶過一些典型的不等式作為基礎，對學生的數學素養要求較高。在用這些方法受到阻礙的時候，嘗試使用數學歸納法往往會豁然開朗.

事實上，數學歸納法在證明不等式中的應用并不局限于數列不等式

5、結語

盡管一些高考中的數列題目除了用數學歸納法之外還可選用其他方法解答，但在用其他方法難以作答時，數學歸納法不失為一種有效的好方法。訓練學生熟練運用數學歸納法解題的能力，有利于培養學生邏輯推理、數學運算等核心素養。

在課堂教學中，應鼓勵學生采用多種解題方法，從多個角度去思考一個問題，并比較各種解法的優劣，從而有效提高學生分析和解決問題的能力。

參考文獻

[1]張永春，米永強.數學歸納法在高考試題中的應用[J].中學數學教學參考.2018.No.719，44-45

[2]田定京.數學歸納法在高考數列題中的應用[J].數學學習與研究.2013，81