一題多解 開闊思路

陳劍青

對有些題適度進行一題多解既能調動學生積極性，又極大提高教學有效性，盡可能的讓學生進行聯想，去感知題中蘊含的基本思想。在此，我舉一教學過程實例，會考復習在即，一天班上一位同學拿來一題請教老師，題目如下：

看起來好象沒什么錯，但學生忽略了基本不等式對取等號成立的條件。

教師為學生回顧x2+y2≥2xy當且僅當“x=y時等號成立”。實質上①式和②式取等號時不可能同時成立，學生恍然大悟。

啟示1：教師在教學中展示數學概念、結論、應用的形成發展過程積極探索新的途徑和方式，促進學生數學學科核心素養的發展。基本不等式教學重點是應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程，難點是用基本不等式求最大值和最小值。在解決實際問題中著重引導學生領會基本不等式√ab≤（a+b）/2（a，b≥0）成立時的三個限制條件（簡稱一正二定三相等）在求解實際問題中的作用。

那到底如何解呢？題目分析如下：

啟示2：在教學中應在理解教材、把握教材的基礎上，根據教學目標、所帶學生的需要和學習特點做適度的延伸或對內容做適當的調整。

方法二：

題中兩個方程為圓的方程，因此利用圓的方程思想，數形結合思想及向量思想來做此題。

啟示3：當學生的認識水平達到一定高度時時，可根據教學實際融會貫通相關知識內容，嘗試探討多種方法解題。

總結本題：

方法一、基本不等式的應用要注意取“等號”的條件。

方法二、向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。本題通過平面向量的數量積運算把不等式問題通過數型結合轉化為向量的運算體系。

方法三、利用三角知識，使學生體會三角恒等變換的基本思想和方法，發展推理能力和運算能力使三角恒等變換其到工具性作用。

反思與感悟：首先學生是數學學習的主體，一題多解應以學生能力為出發點，以學生發展為終點，在尊重學生現有思路的前提下幫助學生學會知識技能思想方法，更關注如何引導學生學會學習會思考會應用，使學生能夠實現可持續發展和終身學習的基本保證。其次數學教學是思維的教學，在一題多解教學中，盡可能多的讓學生進行聯想，類比，歸納和概括等活動，反思它們的聯系和區別，感知其中蘊含的基本思想，從而提高學生學習數學的興趣。

參考文獻

[1]《普通高中數學課程標準》（2017年版）人民教育出版社

[2]《數學必修5教師教學用書》人民教育出版社