一道“數學難題”的“華麗轉身”

諸錦娟

引言：近期我們特級教師工作室的成員又走進了領銜人張齊華特級的課堂，一開課，老師們便炸開了鍋：“這不是一道奧數題嗎，這樣的教學內容可以進入數學課堂嗎？”、“這么難的試題考試又不考，干嘛要花一節課時間來研究呢？”……

張老師為什么會選擇這樣一道奧數難題作為課堂教學研究的內容呢？這引起我的深思……

一、思忖：難題究竟難在哪里？

據張老師介紹，這節課的教學靈感來源于萍教授給小學數學老師的一次講座中提到的案例：

一個邊長為4米的正方形封閉的羊圈，羊圈外面全部是草地。一根繩子的一端系在羊圈固定的樁子上，另一端拴著一頭羊。如果繩長是6米，羊能夠吃到多大一片草？（羊的大小、拴繩部分忽略不計）

仔細琢磨思忖，這個難題之所以“難”，主要有三個難點：

1.問題情境陌生

在之前《圓的面積》的練習課中，學生也遇到過“羊吃草”的問題，但那僅是求一個圓的面積。而這題情境中多了一個羊圈，多了6米繩長，讓問題變得復雜了很多。對于現在的學生來說，這里的生活情景、問題情境是學生十分陌生的：羊圈具體是什么樣子，羊吃草的范圍有哪些，6米的繩長與哪些因素關聯？這些都是學生困惑的地方，也是學生解決問題的困難所在。

2.條件變化多樣

在這個問題情境中，拴羊的繩子的長短變化直接影響著計算結果。當繩長等于4米或小于4米時，結果是一種情況；當繩長大于4米而等于小于8米時，結果是另一種情況，繩長變化結果也會發生變化……一個看起來簡單的數學問題，隨著條件的不斷變化，結果就會發生改變，這對學生來說也是難以理解的。

3.思維鏈接繁雜

所謂數學難題，無非是知識點多，條件隱蔽，計算復雜，對學生綜合運用知識的能力要求比較高。需要鏈接眾多的知識點；需要鏈接眾多的隱蔽條件：包括隨著情境不斷變化或保持不變的條件；需要鏈接眾多的計算方法；思維鏈接繁雜，思考起來比較困難，此題亦是如此。

二、自問：難題該不該進入課堂？

作為一線教師，大家長期以來對這樣的難題教學都心存抵觸，覺得它們難度大、講解難、價值低，因而沒有老師愿意去觸碰它。尤其在教學時只是片面追求：掌握解題方法，記憶定理公式，應付各類考試。那它無疑是超綱的，教學價值也是低廉的。

那么，這樣的“難題”到底該不該進入我們的課堂呢？這也引起我的反思和自問：

1.難題教學有何積極的意義？

在聽課的同時，我也深刻的反思：我們對“難題”的認知存在著一定的偏頗。許多所謂的“難題”都是源于教材，是教材內容的延伸拓展，內容更具綜合性、研究性、趣味性，對學生思維能力的培養和綜合素養的提升發展有著一定的積極作用。

像這樣的難題有助于拓寬學生的知識視野，激活解決問題的不同思路，進一步豐富探索性學習的經驗，可以讓學生感受到生活中的許多問題都蘊含數學知識，富有挑戰性。我們必須培養學生學會用數學的方式去感知、觀察、分析、思考我們周圍的世界。

2.難題的教學如何定位？

新課改重新聚焦學生的思維，重視學生思維能力的培養和發展。對于難題，只要我們跳出解決問題本身，淡化對問題結論的關注，淡化對解題技巧的關注，把教學定位在：學生是否經歷了問題解決的過程；學生在解決問題過程中表現出怎樣的思維能力和思維方法；學生是否通過問題解決積累了數學活動經驗、提升解決問題策略。如若通過難題的研究，學生思維的角度和深度發生了改變，數學思想和學習方法能有所感悟，學會“問題解決”的策略。那么這樣的難題教學是有積極意義的。

三、獲益：難題讓課堂綻放別樣精彩。

特級教師的課堂是一張風帆，特級教師的教學是一種引領，張老師的這道難題教學的華麗轉身給了我們許多啟發：

1.尊重主體，支持數學學習的發生

學生是課堂的主人，課堂上，學生的每一個想法每一個創意，無論是對還是錯，都應該是教學的寶貴資源，都應該受到尊重。給學生發表不同想法的機會，呈現不同的思維路徑，既能體現出學生真實的認知起點，又可以最大程度地促進學生思考各種方法之間的異同及內在聯系，這一過程可以充分激發每一個學生進行個性化的學習，支持數學學習真正發生。

生三：我覺得上面兩位同學的方法都有問題。我們小組經過研究，發現羊能夠吃草的最大面積，應該是這樣的。就是π×6×6× +π×2×2× =29π平方米。

對于學生不同的方法，張老師并不急于評價，而是鼓勵學生充分闡述自己的想法，展示思考的過程。當學生三種方法都呈現后，老師看似隨意實則精心的提問：“究竟哪一種才是準確的？你能給出更有說服力的解釋嗎？”這樣畫龍點睛地設問，激發了學生的思維欲望，立刻把學生帶入了沉思交流和思維碰撞的環節。為形成正確的解題思路搭建了“腳手架”，有效的支持數學學習的真正發生。

2.著眼能力，支持核心素養的形成

課標（2011年版）指出：數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。它是在學習數學知識過程中形成的數學的思想與方法，是兒童數學學習的終極培養目標。

（1）經歷想象過程，建立空間觀念

這節課中，張老師特別重視引導學生經歷情境想象的過程，或借助模型動手操作以明確思路，或畫示意圖幫助理解，從而建立空間觀念。

（2）滲透模型思想，發展數學思維

建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用。在張老師的這節課中，通過讓學生在操作體驗、異同對比、歸納提煉的基礎上逐步滲透了模型思想。