十進制無窮循環小數的分數形式表示

關于十進制無窮循壞小數的分數形式表示這一內容在一般數學分析著作中很少涉及，有的即使涉及也是錯的（如文獻[1]）。鑒于這一內容還是重要的，同時其表示法也非輕而易舉獲得，尤其重要的是得到了十進制無窮循環小數是有理數的重要理論根據，故給予介紹。

定理1若正十進制無窮循環小數則，其中整數部分，

證，那么據條件得，，，

……

這里。

于是由上得……①

上面的n取遍全體自然數。

設，，，……，，則正項級數的部分和數列的通項，那么，于是據等比數列前n項和公式及（1）式得

證畢。

推論1若正十進制無窮循環小數，整數部分，則m=1時，A可用正分數（非整數）表示;m>1時，A可用正分數（非整數）

表示。

證設，

，則

那么m=1時，

m>1時

由于m=1時，為真分數;m>1時，亦為真分數，那么本推論成立。

推論2正十進制無窮循環小數為有理數。

證據推論1可證。

定理2若負十進制無窮循壞小數整數部分-a0為零或負整數，則，

其中，

。

證仿定理1之證法可證。

推論1若負十進制無窮循環小數，整數部分-a0為零或負整數，則m=1時，A可用負分數（非整數）表示;m>1時，A可用負分數（非整數）

表示。

證仿定理1之推論1可證，易證而略。

推論2負十進制無窮循環小數為有理數。

證據推論1可證，易證而略。

下面是幾個例題

例1把用分數表示出來。

解。

例2把-用分數表示出來。

解。

例3把用分數表示出來。

解。

例4把用分數表示出來。

解。

例5把用分數表示出來。

解

例6把用分數表示出來。

解

我們還可以得到下面一些結果：

，，，，等等。

把無窮循環小數化為分數有時是必要的，從這里也就證明了無窮循壞小數是有理數。

參考文獻

[1]楊守廉數學分析上冊中學教師《專業合格證書》數學教材北京師范學院出版社1989年12月第1次印刷P127

作者簡介：梁自溫，男，1945年生，湖南洞口縣人，畢業于原湖南中醫學院（現更名為湖南中醫藥大學），本科醫療專業，工余時間長期學習高等數學。