微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

駱麗玲

摘 要：微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史的重要?dú)v程點(diǎn)，為近代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供有利的基礎(chǔ)。微積分是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，幫助培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。中學(xué)數(shù)學(xué)的一些復(fù)雜的問題有時(shí)可用微積分解決。本文通過若干典型例題，探討微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明不等式、恒等式、求面積、求最值等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：不等式;微積分;中學(xué)數(shù)學(xué)

一、不等式

例1[1]若，且，

則.

證明：設(shè)，則

于是在是凹函數(shù)，所以有

函數(shù)凹凸性定理，它聯(lián)系到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，是對(duì)利用導(dǎo)數(shù)證明初等不等式的進(jìn)一步研究。應(yīng)特別注意，若對(duì)于任意有，則在I上是嚴(yán)格下凸（上凹）函數(shù)。

基于函數(shù)的凹凸性定理，有Jensen不等式。定理是：若在區(qū)間I上的下凸（上凹）函數(shù)，則對(duì)于任意的和滿足的，有成立.[2]

變式1：若，且，則.[3]

證明：設(shè)，則于是在是凹函數(shù)，

所以有，

即.

變式2：若，且，則.

證明：設(shè)，則于是在是凹函數(shù)，所以有，即.

二、恒等式證明

例2求證：.[4]

證明：設(shè)，關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)得

在上式中令x=2，整理得原等式.

例3求證[1]：

證明：

令，則f'（x）=0，于是f（x）=c，由，所以，c=sin2α.

三、求最值

例4（全國1卷.理16）已知函數(shù)，則的最小值是____.

解：

因?yàn)椋詴r(shí)，f'（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;

時(shí)，f'（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.

所以時(shí)，有最小值，

即時(shí)，f（x）有最小值，最小值為.

微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史的重要?dú)v程點(diǎn)，為近代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供有利的基礎(chǔ)。微積分是高中和大學(xué)的銜接內(nèi)容，相對(duì)高中來說，大學(xué)的內(nèi)容就比較抽象，若是高中未涉及這部分的內(nèi)容，可能會(huì)導(dǎo)致很難適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)解題中，加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)微積分的積極影響，建立良好的基礎(chǔ)，感受微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，讓我們的解題的思路更為開闊，不至于陷入對(duì)問題的束手無策的困境，有時(shí)可用微積分方法解決問題，幫助我們獲得某種啟發(fā)，而尋找一些靈活的方法。

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海.上海教育出版社，1990.

[2]許文文.利用導(dǎo)數(shù)法證明初等不等式的一些研究[D].西安：西北大學(xué)，2018.

[3]李三平.高觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)[M].陜西.陜西師范大學(xué)出版總社有限公司，2013.

[4]丁向前.微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，（8）：4-5.