重數為5的數字半群的不可約性研究

凌燕 孫廣人

摘 ?要：本文研究了重數為5的數字半群的不可約性。通過計算數字半群的虧格和Frobenius數，刻畫了重數為5的數字半群的特點，分析了重數為5的不可約數字半群和5-不可約數字半群之間的關系，進而確定了哪些重數為5的不可約數字半群也是5-不可約數字半群。最后對重數為5的數字半群，通過分類列表整理的形式，分別列出嵌入維數為3、4和5的數字半群，對其不可約性和5-不可約性的關系進行了初步研究。

關鍵詞：數字半群;不可約;Frobenius數;虧格

中圖分類號：O152.7 ? ? ?文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2019）14-0013-05

Irreducible Numerical Semigroup with Multiplicity 5

LING Yan，SUN Guangren

（School of Mathematics and Computational Sciences，Anqing Normal University，Anqing ?246133，China）

Abstract：In this paper，we study the irreducibility of digital semigroups with multiplicity 5. And completely describes the characteristics of the numerical semigroup with the multiplicity and analyzed the relationship between the irreducible numerical semigroup with the multiplicity of 5 and the 5- irreducible numerical semigroup by calculating the genus of the numerical semigroup and the Frobenius number. Furthermore，it is determined which irreducible numerical semigroups with multiplicity 5 are also irreducible numerical semigroups with multiplicity 5-. Finally，we list the numerical semigroups with embedding dimensions of 3，4 and 5 separately by the classification list for the numerical semigroup with a multiplicity of 5，and then the relationship between the 5 irreducibility and the 5-reducibility is studied.

Keywords：numerical semigroups;irreducible;Frobenius number;genus

0 ?引 ?言

數字半群是幺半群的重要分支，它是在研究線性Diophan-tine方程的非負整數解的時候出現的，且與單項式定義的曲線密切相關[1]。在最初的時候，數字半群研究的大多數問題都僅與初等數論有關，但在上個世紀后半葉，由于它在代數幾何學中的應用被發現，使得它吸引了許多代數與幾何領域的研究者。此外，關于數字半群理論的更多內容可以在Rosales和García-Sánchez的專著中找到[2]。在研究數字半群的理論中，數字半群的不可約性一直是研究的熱點，它在很多文獻中都得到了廣泛的研究[3-8]。在對不可約數字半群的研究中，Blanco和Rosales在他們的文獻中拓展了不可約性的概念，引出了m-不可約數字半群[9]。該文獻還刻畫了m-不可約數字半群的特殊間隙、虧格及Frobenius數。在文獻[10]中，作者根據Frobenius數、虧格等主要量刻畫了3-不可約、4-不可約數字半群的特征。本文則是在文獻[10]的基礎上，探究出重數為5的不可約數字半群和5-不可約數字半群的關系，從而找出哪些重數為5的不可約數字半群也是5-不可約數字半群。

1 ?3-不可約數字半群和4-不可約數字半群

設q是有理數，我們用[q]=min{z∈Z：q≤z}表示不小于q的最小整數。顯然，若S是數字半群，則g（S）≥

對于數字半群S，若S滿足條件S=〈A〉，則稱A是S的生成元系，集合A中的元素稱為S的生成元;若A的任意真子集都不能生成S，則稱A是S的極小生成元系。每個數字半群S都有唯一的極小生成元系，且極小生成元系中元素的個數是有限的。

定義3：令{n1

定義4：令S是一個數字半群，不屬于數字半群S的最大整數稱為該半群的Frobenius數，用F（S）表示，N＼S的元素的個數叫作數字半群的虧格，用g（S）表示。

定義5：S是一個數字半群，若S不能表示為真包含它的兩個數字半群的交集，則稱S為不可約數字半群。

定義6：S是一個重數為m的數字半群，若S不能表示為真包含它的且重數為m的兩個數字半群的交集，則稱S為m-不可約數字半群。

定義7：S是一個數字半群，n≠0，則Ap（S，n）={s∈S|s-n?S}。

命題1[2]：S是一個數字半群，e（S）為S的嵌入維數，m（S）為S的重數，則e（S）≤m（S）。

命題2[11]：S是m-不可約數字半群，則以下條件等價：

（1）S={x∈N：x≥m}∪{0}。

（2）S={x∈N：x≥m，x≠F（S）}∪{0}。

（3）S是不可約數字半群。

命題3[11]：S是不可約數字半群的充要條件是g（S）= ?。

引理1[11]：若S是一個m-不可約數字半群，則：

引理2[11]：若S是一個重數為m-不可約數字半群，則S是m-不可約數字半群的充要條件為g（S）=m-1，m， ?。

引理3[12]：任意一個3-不可約數字半群是不可約的。

引理4[12]：除{0，4，→}外，任意一個4-不可約數字半群是不可約的（→表示4以后的所有自然數）。

推論1[11]：S是不可約數字半群：

（1）若F（S）為奇數，則S是對稱數字半群。

（2）若F（S）為偶數，則S是偽對稱數字半群。

推論2[11]：S是m-不可約數字半群：

（1）若F（S）為奇數，則S是m-對稱數字半群。

（2）若F（S）為偶數，則S是m-偽對稱數字半群。

推論3：S是數字半群，e（S）=2，則S是對稱數字半群。

2 ?5-不可約數字半群

推論4：若S是數字半群，e（S）=2，m（S）=5，則S一定是對稱數字半群。

證明：由于e（S）=2，m（S）=5，所以存在不被5整除的正整數b，使得S=〈5，b〉，則F（S）=5b-5-b=4b-5，故F（S）一定為奇數，所以S是對稱數字半群。

S是數字半群，若對任意的s∈S，有x?S且x+s∈S，我們把這樣的整數x叫作S的偽Frobenius數，通常用PF（S）表示數字半群S的偽Frobenius數的集合，它的基數我們叫作數字半群S的型，用t（S）表示。由定義顯然可以知道t（S）∈PF（S），其是PF（S）集合中最大的一個數。

例1：S是由〈5，b〉生成的數字半群，則Ap（S，5）={0，b，2b，3b，4b}，可以得出PF（S）={4b-5}，因此t（S）=1。如S=〈5，9〉，Ap（S，5）={0，9，18，27，36}，PF（S）=36。

引理4：當e（S）=2時，任意一個5-不可約數字半群一定是不可約的。

證明：由推論3可知，嵌入維數為2的數字半群一定是對稱數字半群，且不可約數字半群分為對稱數字半群和偽對稱數字半群，所以當e（S）=2時，任意一個5-不可約數字半群一定是不可約的。

引理5：當e（S）=3時，任意一個5-不可約數字半群一定是不可約的。

證明：令S是5-不可約數字半群，{5