立體幾何中的向量方法

吳麗萍

摘 要：本文從現(xiàn)行高考對(duì)立體幾何中的向量方法內(nèi)容的命題要求，對(duì)選修2-1的3.2內(nèi)容作了調(diào)整后進(jìn)行教學(xué)，更有利于學(xué)生的掌握.

關(guān)鍵詞：空間向量? 平行關(guān)系? 垂直關(guān)系? 空間角? 空間距離? 探索性問題

隨著新課改的實(shí)施，新的課程標(biāo)準(zhǔn)的出現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容也作了相應(yīng)的調(diào)整。比如引入了“立體幾何中的向量方法”。現(xiàn)行人教版教材在選修2—1的3.2就本塊內(nèi)容作了介紹。本人認(rèn)為本節(jié)內(nèi)容教材的編寫較粗線條，不利于平時(shí)的教學(xué)安排及學(xué)生的掌握，特別是剛走上講臺(tái)的新教師在教學(xué)時(shí)更無從下手。本人根據(jù)平時(shí)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以及高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題要求（1、理解直線的方向向量與平面的法向量;2、會(huì)用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系;3、會(huì)用向量方法證明直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題;4、能用向量方法解決異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的作用。）對(duì)此部分內(nèi)容作了以下處理。

一、學(xué)這部分內(nèi)容前可先學(xué)習(xí)必修2的3.4空間坐標(biāo)系。

二、再學(xué)習(xí)選修2—1的3.2內(nèi)容，且將這部分內(nèi)容調(diào)整為以下四部分：

（一）第一部分：空間向量與平行關(guān)系

1、先介紹直線的方向向量與平面的法向量概念：

4）賦值：取其中一個(gè)為非零值;

5）得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量。

（2）實(shí)例求平面的法向量：

4、用空間向量證明平行問題。

（1）例3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：

1）FC1∥平面ADE

2）平面ADE∥平面B1C1F

（2）思路點(diǎn)撥：1）只需證明直線FC1的方向向量與平面ADE的法向量垂直即可;

2）只需證明兩平面的法向量平行即可。

**小結(jié)：用向量法處理空間中平行關(guān)系的關(guān)鍵是求得直線的方向向量與平面的法向量，借助直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系確定空間中的線、面平行問題。

（二）第二部分：空間向量與垂直關(guān)系

1、證明線線垂直：用向量法證明空間兩直線相互垂直，其主要思路就是證明兩直線的方向向量相互垂直。

（1）例4： 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN=CC1/4，求證：AB1⊥MN

3、證明面面垂直：用向量法證明平面與平面垂直，其主要思路就是證明兩個(gè)平面的法向量垂直。

**小結(jié)：用向量法求空間角關(guān)鍵是求得直線的方向向量與平面的法向量，借助直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系并利用公式求解即可。

（四）第四部分：利用空間向量解決立體幾何中的綜合問題

以棱柱、棱錐為背景，利用空間向量證明空間中線面關(guān)系、計(jì)算空間中的各種角是高考對(duì)立體幾何的常規(guī)考法。隨著新課改的深入，利用空間向量解決立體幾何中的探索性問題越來越突出的表現(xiàn)出來。如：浙江高考以探索性問題的形式考查空間向量在解決空間角、空間位置關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離問題等方面的綜合應(yīng)用，是高考命題的一個(gè)新方向。

利用空間向量解決立體幾何中的問題，首先要探索如何用空間向量來表示點(diǎn)，直線，平面在空間的位置以及它們之間的關(guān)系。也就是說，要建立立體圖形與向量之間的關(guān)系，然后將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行解決。

參考文獻(xiàn)：

（1）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修2-1? 人民教育出版社;

（2）三維設(shè)計(jì)選修2-1? 南方出版社