彈性力學(xué)可視化教學(xué)的探討

張瓊 杜永峰 程選生

摘? 要：彈性力學(xué)是高校本科教育中工程科專業(yè)的一門較復(fù)雜的專業(yè)基礎(chǔ)理論力學(xué)課程，由于引入了大量的數(shù)學(xué)理論，特別是偏微分方程的邊值問題，學(xué)生普遍反映該門課程枯燥難學(xué)。基于可視化教學(xué)的特點(diǎn)，以孔邊應(yīng)力集中為例，利用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件把抽象彈性力學(xué)問題以圖像形式直觀化，探討可視化教學(xué)方法在彈性力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：彈性力學(xué);偏微分方程;可視化;學(xué)習(xí)興趣

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2019）18-0061-03

Abstract： Elastic mechanics is a more complex professional basic course of theory mechanics in the undergraduate education. Due to the introduction of a large number of mathematical theories， in particular differential equations with boundary value problems， students generally reflect that the course is boring and difficult. Based on the characteristics of visual teaching， taking the stress concentration at the hole edge as an example， the abstract elasticity problems are visualized in the form of images by using MATLAB mathematical calculation software. The application of visual teaching method in the teaching of Elastic mechanics is discussed in order to arouse students' interest in learning and cultivate students' innovative ability.

Keywords： elastic mechanics; partial differential equations; visualization; learning interest

彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支，致力于解決彈性體由于外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移，是土木工程專業(yè)的一門理論性與應(yīng)用性都很強(qiáng)的基礎(chǔ)課程[1-2]。通過該課程的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及分析和解決工程實(shí)際問題的能力。由于彈性力學(xué)課程引入了大量的數(shù)學(xué)理論，使該課程具有理論性強(qiáng)、概念抽象、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、直觀性差、公式推導(dǎo)多及對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)要求較高等明顯特點(diǎn)[3-4]。而在彈性力學(xué)課程學(xué)習(xí)和講授過程中，學(xué)生普遍反映該門課程枯燥難學(xué)，知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜、抽象、難以理解，提不起學(xué)習(xí)興趣，是公認(rèn)的是學(xué)生難學(xué)、老師難教的課程[5-6]。本文利用MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和圖形顯示功能特點(diǎn)[7]，將其引入到彈性力學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，可以很方便地繪制出彈性體的應(yīng)力、形變和位移分布圖，將理論知識(shí)直觀地呈現(xiàn)出來，實(shí)現(xiàn)可視化教學(xué)，便于學(xué)生理解并加深認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)教學(xué)效果。

一、彈性力學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問題

彈性力學(xué)致力于尋求構(gòu)件和結(jié)構(gòu)在彈性變形階段的位移、應(yīng)變和應(yīng)力分布，是“材料力學(xué)”和“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中桿件基本變形和受力分析理論的推廣及一般化，研究也由單一的桿件擴(kuò)展到了桿件、板殼和實(shí)體。當(dāng)前，我國高等工科院校的主流彈性力學(xué)教材是徐芝綸教授編著的《彈性力學(xué)》和《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》，以此為基礎(chǔ)的彈性力學(xué)教學(xué)內(nèi)容和組織體系主要包括彈性力學(xué)的基本概念和基本假設(shè)、平面問題的基本理論、直角坐標(biāo)解法和極坐標(biāo)解法、空間問題的基本理論和解答、薄板彎曲問題以及差分法、變分法和有限元法介紹等。教學(xué)從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個(gè)方面考慮，經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建立微分方程和邊界條件，把問題歸結(jié)為偏微分方程組邊值問題。

由于偏微分方程邊值問題的復(fù)雜性，能直接求出解析解的問題非常有限，而教學(xué)內(nèi)容則著重于求解簡(jiǎn)單典型彈性力學(xué)問題的解析解[8-9]。解析解的求解讓學(xué)生對(duì)所研究對(duì)象的彈性力學(xué)特性有更加全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)于人們認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)事物的原理仍起著不可替代的作用，是科學(xué)理論進(jìn)步的一項(xiàng)重要工具。但是這些解析解大多采用逆解法或半逆解法求得，其中應(yīng)力或位移函數(shù)的選取往往比較抽象，技巧性強(qiáng)。教師在彈性力學(xué)解析解的講解中有大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和驗(yàn)算，涉及到微積分和與之相關(guān)的微分方程等知識(shí)，導(dǎo)致學(xué)生需要花費(fèi)大量時(shí)間與精力來接受數(shù)學(xué)推導(dǎo)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往迷失在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，找不到重點(diǎn)，甚至等到課程結(jié)束，以至于很多學(xué)生學(xué)完整門課程都弄不清幾個(gè)應(yīng)力分量之間存在什么樣的關(guān)系，更難以將抽象的力學(xué)計(jì)算模型與工程實(shí)際構(gòu)件聯(lián)系起來，進(jìn)而認(rèn)為彈性力學(xué)理論抽象，數(shù)學(xué)推導(dǎo)麻煩，課程枯燥乏味。另外，土木類專業(yè)所面臨的現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)問題大多為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，求解域的幾何形狀，邊界條件和荷載形式都比較復(fù)雜，彈性力學(xué)經(jīng)典解析解法存在很大的局限性，從而使學(xué)生普遍認(rèn)為彈性力學(xué)解決實(shí)際工程的能力遠(yuǎn)不如材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)。以上導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的熱情不高，學(xué)習(xí)效果不理想，綜合分析解決工程實(shí)際問題或從事科研活動(dòng)的能力不足。

二、可視化在彈性力學(xué)教學(xué)中的探討

如何把抽象的彈性力學(xué)問題直觀化，從復(fù)雜而且繁瑣的公式推導(dǎo)中走出來，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)課程的興趣和熱情，使學(xué)生能夠深刻認(rèn)識(shí)彈性力學(xué)在工程應(yīng)用領(lǐng)域的重要性顯得尤為重要。彈性力學(xué)問題是數(shù)學(xué)物理方程的邊值問題，盡管數(shù)學(xué)物理方法的公式通常都有明確的物理意義，可是怎么能夠使學(xué)生從讓人眼花繚亂的數(shù)學(xué)表達(dá)式中看出其中所表達(dá)的物理圖像，恐怕學(xué)生會(huì)感覺困惑，教師也難免覺得棘手。由此不難理解，為什么許多學(xué)生都覺得彈性力學(xué)太枯燥乏味了。如何讓這些公式中的物理圖像展現(xiàn)出來，讓這些無言的公式“開口說話”，這正是應(yīng)關(guān)注的問題。顯然，這個(gè)問題離不開數(shù)值計(jì)算及其可視化，利用可視化技術(shù)可以把抽象的彈性力學(xué)問題直觀化，進(jìn)而增加學(xué)生對(duì)理論的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在教學(xué)過程中利用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過圖表的形式可以直觀地展現(xiàn)彈性力學(xué)問題的理論解答，學(xué)生在聽取了基本理論的講解后能夠看到生動(dòng)形象的圖表演示，從而直觀地看到理論的表現(xiàn)，既能加深對(duì)理論的理解，又能提高其學(xué)習(xí)的積極性。但常用的大型有限元軟件安裝以及計(jì)算過程對(duì)電腦硬件要求比較高，不利于學(xué)生課下操作練習(xí)。更重要是，多數(shù)大型有限元軟件開放性不好，學(xué)生一般只能看到建模過程和計(jì)算結(jié)果，而計(jì)算過程則是“黑匣子”，導(dǎo)致學(xué)生很難深入理解其原理。MATLAB是美國MathWorks公司出品的數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，具有高效的數(shù)值計(jì)算及符號(hào)計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出來，同時(shí)具有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化。英美大多數(shù)高校都將其引入到本科教學(xué)，幾乎所有公共機(jī)房的計(jì)算機(jī)都裝有該軟件。筆者團(tuán)隊(duì)成員訪學(xué)的英國埃克塞特大學(xué)，無論是教工、學(xué)生還是訪問人員，只要用該校郵箱在MathWorks公司網(wǎng)站注冊(cè)，就可以非常方面地下載安裝MATLAB正版軟件，教室里經(jīng)常可以看到本科生利用MATLAB處理課后作業(yè)。MATLAB軟件包含有各種工具箱，特別是PDE工具箱中的“Structural Mechanics”模塊，可以提供偏微分方程的數(shù)值解，從而能夠快速求得彈性力學(xué)問題的解答，提供直觀二維或三維空間的可視化圖形，與其它有限元軟件相比，還能讓學(xué)生了解其中的計(jì)算過程及其原理，特別方便于彈性力學(xué)的本科教學(xué)。

三、可視化在彈性力學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐

由于MATLAB的通用性與開放性，彈性力學(xué)本科教學(xué)中幾乎所有的典型問題，如圣維南原理、簡(jiǎn)支梁受均布荷載、圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Α⑿】讘?yīng)力集中、等截面直桿的扭轉(zhuǎn)、半空間體受重力及均布?jí)毫Α⒈“鍣M截面上的內(nèi)力等，都可以利用MATLAB對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并用彩色圖表展示節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)變、應(yīng)力結(jié)果。限于篇幅，筆者以“圓孔的孔邊應(yīng)力集中”一節(jié)為例[1，10]，展示可視化的教學(xué)方案。在正式講解新內(nèi)容前首先以筆者承擔(dān)的一個(gè)實(shí)際工程作為案例，引出孔應(yīng)力集中問題。案例是一座大型體育場(chǎng)館的懸挑大跨度樓板，為了保證其在施工過程的安全以及運(yùn)營期的振動(dòng)舒適度，需要對(duì)方鋼管柱打孔引出傳感器導(dǎo)線，這就帶來開什么性狀的孔、開多大的孔、開孔后柱的力學(xué)性能有何變化等一系列問題。把案例抽象為兩對(duì)邊受均勻壓力的鋼板如圖1所示。鋼板為單位厚度，長(zhǎng)為800mm，寬為200mm，在長(zhǎng)對(duì)邊兩側(cè)受到均勻壓應(yīng)力q=100N/mm，彈性模型為210GPa，泊松比為0.3，探討在鋼板中間開不同性狀、不同孔徑的空口附件的應(yīng)力分布情況。假定在鋼板中間部位開直徑為10mm的圓孔，通過MATLAB軟件可方便計(jì)算并繪制出孔口附件以及沿指定路徑的VonMises應(yīng)力分布，如圖2所示。讓學(xué)生觀察應(yīng)力分布情況并總結(jié)應(yīng)力分布特點(diǎn)。

學(xué)生通過對(duì)彩色應(yīng)力分布圖的觀察和討論，加之老師適時(shí)引導(dǎo)，可以較快地總結(jié)出圓孔孔邊應(yīng)力集中的概念與特點(diǎn)。即開孔后應(yīng)力顯著增大，截面尺寸的一個(gè)微小變化可導(dǎo)致的應(yīng)力成倍的增加;應(yīng)力增大是局部的，應(yīng)力集中所導(dǎo)致的應(yīng)力增大效應(yīng)只表現(xiàn)在截面尺寸突變的附近區(qū)域內(nèi)遠(yuǎn)離這個(gè)區(qū)域其應(yīng)力不受影響。然后再引導(dǎo)學(xué)生，如果開孔的直徑變化呢，是不是還有同樣的規(guī)律呢。通過MATLAB軟件再展現(xiàn)孔徑為15mm、20mm的應(yīng)力分布圖如3所示，學(xué)生自然可以得出相同的結(jié)論。最后再引導(dǎo)學(xué)生，如果不是圓孔，是方孔呢？通過MATLAB軟件再展現(xiàn)開孔邊長(zhǎng)為10mm、20mm應(yīng)力分布圖如圖4所示。

教師最后根據(jù)小孔受力特點(diǎn)，就可以把帶圓孔平板的均勻拉伸問題轉(zhuǎn)化為圓環(huán)承受壓力的問題，進(jìn)而通過半逆解法，給出齊爾西解答。利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并用彩色圖形展示應(yīng)力分布情況、應(yīng)力集中的概念、應(yīng)力集中的特點(diǎn)以及孔的形狀和大少對(duì)應(yīng)力分布的影響。從而能夠形象且更具說服力地表現(xiàn)孔邊應(yīng)力集中的概念與特點(diǎn)，同時(shí)加之相應(yīng)的理論分析和推導(dǎo)，使學(xué)生留下全方位深刻的印象。從理論到實(shí)際工程應(yīng)用，結(jié)合感性和理性的認(rèn)識(shí)形成日后解決工程實(shí)際問題或從事科研活動(dòng)的能力。

四、教學(xué)效果分析

在彈性力學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，利用可提供簡(jiǎn)便的建模方法、高速的求解過程的MATLAB，彈性體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等結(jié)果為彩色可視化圖形，吸引了絕大多數(shù)學(xué)生的注意力，課堂氣氛得到改善，討論比較熱烈，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)，得到了不錯(cuò)的教學(xué)效果;課后調(diào)查和學(xué)生的反饋顯示，學(xué)生對(duì)本門課程的興趣有所提高，同時(shí)對(duì)可能的性質(zhì)和意義也有了新的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為所學(xué)的理論和推導(dǎo)和工程實(shí)踐有了聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到了課程的重要性，學(xué)習(xí)態(tài)度有了顯著改善;同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，利用所學(xué)基本理論解決實(shí)際工程問題的能力。

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